Spectral properties of the d-bar-canonical solution operator and of the Hankel operators with antiholomorphic symbol.
Propriétés spectrales de l'opérateur solution canonique du d-bar et des opérateurs de Hankel de symbole antiholomorphe.
Résumé
This thesis deals with the spectral properties of the canonical solution operator of the dbar-equation in connexion with Hankel operators in the several complex variables context.
First, we study the spectral properties of the dbar-canonical solution operator on (0,1)-forms with holomorphic coefficients. In this doctoral dissertation, we consider a Hilbert space H of (0,1)-forms and a space L2 of square integrable functions with respect to the measure mu on a rotation invariant open set Omega in C^n. We give necessary and sufficient conditions, in terms of the moments of the measure mu, for the canonical solution operator of the dbar-equation to be bounded, compact and in the Schatten p-class from H into L2. Examples of H can be chosen to be the space of (0,1)-forms with coefficients in one of the classical Hilbert spaces of holomorphic functions such as weighted Bergman spaces, Fock spaces, Hardy-Sobolev spaces, Sobolev spaces of holomorphic functions or the Möbius invariant space.
Secondly, we are interested in the existence in a given Schatten class of a non-zero Hankel operator with antiholomorphic symbol on a Hilbert space of holomorphic functions and we study the connection between the growth of a function f and the size of the singular values of the Hankel operator of symbol f-bar. In this work, we consider the big Hankel operators with antiholomorphic symbol on the Hardy space on the unit disc in C, the Dirichlet space or Sobolev spaces of holomorphic functions on the unit disc. We give a necessary et sufficient condition on p for the Schatten p-class to contain a non-zero Hankel operator with antiholomorphic symbol. Then, we characterize the functions f such that the Hankel operator of symbol f-bar is a Hilbert-Schmidt operator. Moreover, we give necessary conditions on f for the Hankel operator of symbol f-bar to be bounded, compact and in the Schatten p-class, except in the case of the Dirichlet space.
First, we study the spectral properties of the dbar-canonical solution operator on (0,1)-forms with holomorphic coefficients. In this doctoral dissertation, we consider a Hilbert space H of (0,1)-forms and a space L2 of square integrable functions with respect to the measure mu on a rotation invariant open set Omega in C^n. We give necessary and sufficient conditions, in terms of the moments of the measure mu, for the canonical solution operator of the dbar-equation to be bounded, compact and in the Schatten p-class from H into L2. Examples of H can be chosen to be the space of (0,1)-forms with coefficients in one of the classical Hilbert spaces of holomorphic functions such as weighted Bergman spaces, Fock spaces, Hardy-Sobolev spaces, Sobolev spaces of holomorphic functions or the Möbius invariant space.
Secondly, we are interested in the existence in a given Schatten class of a non-zero Hankel operator with antiholomorphic symbol on a Hilbert space of holomorphic functions and we study the connection between the growth of a function f and the size of the singular values of the Hankel operator of symbol f-bar. In this work, we consider the big Hankel operators with antiholomorphic symbol on the Hardy space on the unit disc in C, the Dirichlet space or Sobolev spaces of holomorphic functions on the unit disc. We give a necessary et sufficient condition on p for the Schatten p-class to contain a non-zero Hankel operator with antiholomorphic symbol. Then, we characterize the functions f such that the Hankel operator of symbol f-bar is a Hilbert-Schmidt operator. Moreover, we give necessary conditions on f for the Hankel operator of symbol f-bar to be bounded, compact and in the Schatten p-class, except in the case of the Dirichlet space.
Cette thèse est consacrée à l'étude spectrale de l'opérateur solution canonique du dbar en liaison avec les opérateurs de Hankel dans le cas de plusieurs variables complexes.
Dans un premier temps, on étudie les propriétés spectrales de l'opérateur solution canonique du dbar restreint aux (0,1)-formes à coefficients holomorphes. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes, pour que l'opérateur solution canonique du dbar soit borné, compact et appartienne à la p-ème classe de Schatten, et ce dans le cas d'une ou plusieurs variables et pour toute une classe d'espaces de Hilbert contenant des espaces de Hilbert de fonctions holomorphes classiques comme des espaces de Bergman à poids, des espaces de Fock, des espaces de Sobolev de fonctions holomorphes, des espaces de Hardy-Sobolev, l'espace de Hardy ou l'espace invariant de Moebius.
Dans un second temps, on s'intéresse à l'existence d'un opérateur de Hankel défini sur un espace de Hilbert de fonctions holomorphes, de symbole antiholomorphe non trivial dans une classe de Schatten donnée et on cherche à étudier le rapport entre la croissance d'une fonction f et la taille des valeurs singulières de l'opérateur de Hankel induit par f-bar.
Dans ce travail, on considère les grands opérateurs de Hankel de symbole antiholomorphe définis sur l'espace de Hardy du disque unité de C, l'espace de Dirichlet ou des espaces de Sobolev de fonctions holomorphes sur le disque unité de C. On donne d'abord une condition nécessaire et suffisante sur p pour que la p-ème classe de Schatten contienne un opérateur de Hankel de symbole antiholomorphe non trivial. Ensuite, on caractérise les fonctions f pour lesquelles l'opérateur de Hankel de symbole f-bar est un opérateur de Hilbert-Schmidt. En outre, on établit des conditions nécessaires sur f pour que l'opérateur induit par f-bar soit un opérateur borné, compact et appartienne à la p-ème classe de Schatten, excepté dans le cas de l'espace de Dirichlet.
Dans un premier temps, on étudie les propriétés spectrales de l'opérateur solution canonique du dbar restreint aux (0,1)-formes à coefficients holomorphes. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes, pour que l'opérateur solution canonique du dbar soit borné, compact et appartienne à la p-ème classe de Schatten, et ce dans le cas d'une ou plusieurs variables et pour toute une classe d'espaces de Hilbert contenant des espaces de Hilbert de fonctions holomorphes classiques comme des espaces de Bergman à poids, des espaces de Fock, des espaces de Sobolev de fonctions holomorphes, des espaces de Hardy-Sobolev, l'espace de Hardy ou l'espace invariant de Moebius.
Dans un second temps, on s'intéresse à l'existence d'un opérateur de Hankel défini sur un espace de Hilbert de fonctions holomorphes, de symbole antiholomorphe non trivial dans une classe de Schatten donnée et on cherche à étudier le rapport entre la croissance d'une fonction f et la taille des valeurs singulières de l'opérateur de Hankel induit par f-bar.
Dans ce travail, on considère les grands opérateurs de Hankel de symbole antiholomorphe définis sur l'espace de Hardy du disque unité de C, l'espace de Dirichlet ou des espaces de Sobolev de fonctions holomorphes sur le disque unité de C. On donne d'abord une condition nécessaire et suffisante sur p pour que la p-ème classe de Schatten contienne un opérateur de Hankel de symbole antiholomorphe non trivial. Ensuite, on caractérise les fonctions f pour lesquelles l'opérateur de Hankel de symbole f-bar est un opérateur de Hilbert-Schmidt. En outre, on établit des conditions nécessaires sur f pour que l'opérateur induit par f-bar soit un opérateur borné, compact et appartienne à la p-ème classe de Schatten, excepté dans le cas de l'espace de Dirichlet.
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