Prescribed curvatures on the hyperbolic space
Prescription de courbures sur l'espace hyperbolique
Résumé
The Ph.D is composed of two parts.
First part :
theme of the conformal scalar curvature on the hyperbolic
space. We bring here a study of the fine asymptotic behavior in any
dimension.
We always deal with general semi-linear equations, before applying our
results to the particular case of the geometric equation.
Second part :
theme of the Ricci curvature on the hyperbolic
space. We obtain the following result.
On the unit ball of $\Reel^n$, one considers the standard hyperbolic
metric $H_0$ whose Ricci curvature equals $R_0$ and Riemann-Christoffel
curvature is ${\cal R}_0$. We prove that in dimension $n\geq10$,
for any symetric
tensor $R$ near $R_0$, there exists a unique metric $H$ near $H_0$
whose Ricci curvature is $R$.
We deduce in the $C^\infty$ case that the image of the Riemann-Christoffel
operator is a submanifold in a neighborhood of ${\cal R}_0$.
We treat also in this part the contravariant Ricci curvature in all
dimensions, the Dirichlet problem at the infinity in dimension 2,
and some obstructions.
First part :
theme of the conformal scalar curvature on the hyperbolic
space. We bring here a study of the fine asymptotic behavior in any
dimension.
We always deal with general semi-linear equations, before applying our
results to the particular case of the geometric equation.
Second part :
theme of the Ricci curvature on the hyperbolic
space. We obtain the following result.
On the unit ball of $\Reel^n$, one considers the standard hyperbolic
metric $H_0$ whose Ricci curvature equals $R_0$ and Riemann-Christoffel
curvature is ${\cal R}_0$. We prove that in dimension $n\geq10$,
for any symetric
tensor $R$ near $R_0$, there exists a unique metric $H$ near $H_0$
whose Ricci curvature is $R$.
We deduce in the $C^\infty$ case that the image of the Riemann-Christoffel
operator is a submanifold in a neighborhood of ${\cal R}_0$.
We treat also in this part the contravariant Ricci curvature in all
dimensions, the Dirichlet problem at the infinity in dimension 2,
and some obstructions.
La thèse se compose de deux parties.
Première partie :
thème de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique. Nous
apportons ici une étude fine du comportement asymptotique en toute
dimension. Nous traitons toujours d'équations semi-linéaires
générales, avant d'appliquer nos résultats au cas particulier de
l'équation géométrique.
Deuxième partie :
thème de la courbure de Ricci sur l'espace hyperbolique.
Nous obtenons le résultat suivant.
Sur la boule unité de $\R^n$, on considère la métrique
hyperbolique standard $H_0$, dont la courbure de Ricci vaut $R_0$
et la courbure de Riemann-Christoffel vaut ${\cal R}_0$.
Nous montrons qu'en dimension $n\geq10$, pour
tout tenseur symétrique $R$ voisin
de $R_0$, il existe une unique métrique $H$ voisine de $H_0$
dont la courbure de Ricci vaut $R$.
Nous en déduisons, dans le cadre $C^\infty$, que l'image
de l'opérateur de Riemann-Christoffel est une sous-variété
au voisinage de ${\cal R}_0$.
Nous traitons aussi dans cette partie de la courbure de Ricci contravariante
en toute dimension, du problème de Dirichlet à l'infini en dimension 2,
et de quelques obstructions.
Première partie :
thème de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique. Nous
apportons ici une étude fine du comportement asymptotique en toute
dimension. Nous traitons toujours d'équations semi-linéaires
générales, avant d'appliquer nos résultats au cas particulier de
l'équation géométrique.
Deuxième partie :
thème de la courbure de Ricci sur l'espace hyperbolique.
Nous obtenons le résultat suivant.
Sur la boule unité de $\R^n$, on considère la métrique
hyperbolique standard $H_0$, dont la courbure de Ricci vaut $R_0$
et la courbure de Riemann-Christoffel vaut ${\cal R}_0$.
Nous montrons qu'en dimension $n\geq10$, pour
tout tenseur symétrique $R$ voisin
de $R_0$, il existe une unique métrique $H$ voisine de $H_0$
dont la courbure de Ricci vaut $R$.
Nous en déduisons, dans le cadre $C^\infty$, que l'image
de l'opérateur de Riemann-Christoffel est une sous-variété
au voisinage de ${\cal R}_0$.
Nous traitons aussi dans cette partie de la courbure de Ricci contravariante
en toute dimension, du problème de Dirichlet à l'infini en dimension 2,
et de quelques obstructions.
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