Definition et Applications des Extensions des
Fonctions Reelles aux Intervalles Généralisés; reformulation de la theorie des intervalles modaux.

Résumé : La théorie des intervalles permet de construire des sur-ensembles du domaine de variation d'une fonction réelle. Ainsi, de manière très naturelle, elle permet de construire une approximation extérieure de l'ensemble des solutions d'un système d'équations. Couplée aux théorèmes usuels d'existence (par exemple les théorèmes de Brouwer ou de Miranda) la théorie des intervalles permet aussi de prouver rigoureusement l'existence de solutions pour un système d'équations.

La théorie des intervalles modaux propose des interprétations plus riches que la théorie de intervalles classiques. En particulier, l'interprétation des extensions aux intervalles modaux permet de prouver directement l'existence de solution d'un système d'équations (sans faire intervenir explicitement les théorèmes d'existence). Malgré les récents développements qui ont montré le potentiel applicatif de la théorie des intervalles modaux, l'utilisation de cette théorie reste fort limitée. Cela peut s'expliquer de la manière suivante:

A) La théorie des intervalles modaux a une construction originale mais compliquée qui est assez éloignée de la construction de la théorie des intervalles classiques. Cela rend par exemple difficile l'ajout de nouveaux concepts.
B) Aucun préconditionnement compatible avec les interprétations offertes par la théorie des intervalles modaux n'a été proposé.
C) Aucun protocole de linéarisation compatible avec les interprétations offertes par la théorie des intervalles modaux n'a été proposé.

Dans le cadre de cette thèse, ces trois points sont développés. D'une part, une nouvelle formulation des principaux résultats de la théorie des intervalles modaux est proposée. Cette nouvelle formulation est faite dans le cadre des intervalles généralisés (intervalles dont les bornes ne sont pas contraintes à être ordonnées) et reprend la construction de la théorie des intervalles classiques. D'autre part, un protocole de préconditionnement et un protocole de linéarisation compatibles avec les interprétations des nouvelles extensions aux intervalles généralisés sont proposés. Le protocole de linéarisation proposé aura la forme d'une nouvelle extension de la valeur moyenne aux intervalles généralisés.

Ces développements théoriques aboutissent à deux applications: d'une part, la nouvelle extension de la valeur moyenne aux intervalles généralisés est utilisée pour construire une approximation intérieure du domaine de variation d'une fonction à valeurs vectorielles. Ce problème est aujourd'hui mal traité par la théorie des intervalles classiques. D'autre part, un opérateur généralisé de Hansen-Sengupta dédié à l'approximation extérieure des "AE-solution sets" est proposé. Il est beaucoup plus simple et moins coûteux en temps de calcul que les autres techniques permettant de résoudre ce type de problèmes. Une comparaison de la puissance de résolution de ces différentes techniques nécessitera d'intégrer l'opérateur généralisé de Hansen-Sengupta au sein d'un algorithme de bissection.
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Thèse
Modélisation et simulation. Université Nice Sophia Antipolis, 2005. Français
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Contributeur : Alexandre Goldsztejn <>
Soumis le : vendredi 10 mars 2006 - 18:47:03
Dernière modification le : lundi 4 décembre 2017 - 15:14:10
Document(s) archivé(s) le : samedi 3 avril 2010 - 22:47:35

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Alexandre Goldsztejn. Definition et Applications des Extensions des
Fonctions Reelles aux Intervalles Généralisés; reformulation de la theorie des intervalles modaux.. Modélisation et simulation. Université Nice Sophia Antipolis, 2005. Français. 〈tel-00011922〉

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