. Nous-allons-montrer, dans la suite de ce chapitre III, que cette limite universalisante peut être étudiée à partir des équations quantiques ramenées dans l'état fondamental (cf. II §1c(iii)). En d'autres termes, elle est descriptible à partir des seuls nouveaux mécanismes de refroidissement

. Ce-qui-est-une-conséquence and . Dans, IV3d -5b), de l'invariance des distributions N± (ps) par le changement de p S en -p S . L'équation d'évolution (IV3d -11) peut alors être récrite ainsi

. Utilisons-ensuite-la-décomposition, IV3b -11) des états propres |n, q> sur les fonctions de Wannier, ce qui fait apparaître une double somme dans 03C3 n,2014 : où T 0 3 B B 2 représente la translation spatiale de 03BB 2 et où l'on a fait intervenir le facteur de normalisation 1/(2N + 1) La sommation sur l'indice de Bloch q : Consequently the model studied here should be considered as a particularly simple prototype of this type of cooling, but, on the other hand, the detailed algebra has probably to be readjusted for the study of any other Sisyphus type cooling mechanism

W. D. We, Phillips and C. Salomon for many stimulating discussions

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. Comme-l-'intégrale-dans-] and . B. Sheehy, une seconde intégration par parties, on obtient la décroissance de S(03B5) à l'infini : REFERENCES [1] See for example the special issues of, J. Opt. Soc. Am. B Phys. Rev. Lett. Europhys. Lett. Phys. Rev. A, vol.6, issue.858, pp.12-20, 1979.

E. Appendice, 0. Iv-estimation-des-taux, W. Par, and . Nous, Il s'agit ici de déterminer une expression approchée des taux de transition entre les états propres du hamiltonien H associés à des sous-niveaux fondamentaux différents, soit |n, q, -> et |n', q', +>. On utilise pour cela l'approximation WKB [80,81]. La discussion est menée pour des états des bandes "liées", mais elle est généralisable aux bandes "quasi-libres". (i) Introduction des fonctions de Wannier Comme on peut le constater sur (IV3d -5a), la connaissance du taux de transition de |n,q,-> vers |n',q',+&#x3E

. Plutôt-que-|03a6&#x3e, Cette dernière étape est menée en détail au §3d(iv) ; on trouve que A s'annule à la limite N ~ +~ si la règle de sélection (IV3c -21) exprimant la conservation de la quasi-impulsion (0127q' + p s = 0127q + 0127k[20127k]) n'est pas observée. Pour des indices de Bloch q et q' fixés, on constate qu'une seule valeur de l'impulsion ps du photon de fluorescence convient en général (q ~ q')

. E. Fig and . Iv, ,+> se fait par deux chemins (passage d'un puits de U -1/2 à l'un ou l'autre des puits voisins de U 1/2) , dont les amplitudes interfèrent. Les fonctions d'onde représentées sont réelles ; elles correspondent à (n = 4, q = 0) et (n' = 8, q = k) pour une profondeur de puits Uo = 400E R . On notera le changement de signe de &#x3C, 2014.

L. Calculs-qui-suivent-reposent-sur-le-fait-que-les-phases and S. , On en déduit ainsi facilement, par exemple, l'expression des facteurs de normalisation N et N'. Lorsqu'on intègre en position |<zl03A6>| 2 sur toute la région permise classiquement, cette propriété de S-(z)/0127 autorise en effet à remplacer dans l'intégrale cos 2 (S_(z)/0127) par sa valeur moyenne, soit 1 2 . Si l'on exige que cette intégrale vaille l'unité, hypothèse bien entendu tout à fait habituelle et à la base du traitement WKB

. Nous, des fonctions de période 03BB (comme sin(kz)) intervenant dans les éléments de matrice (IV3d -5) définissant les taux. On obtient ainsi le taux de départ de |n,q,2014> vers tous les états |n',q', +> en remplaçant, dans l'intégrale définissant l'élément de matrice, 0127) par 1 2 , sans affecter le facteur sin 2, p.2

. Le-dernier-facteur-dans, IV 2014 17a) est donc inversement proportionnel à la densité de modes d'indice n' par rapport à la variable z 0 , puisque cette densité vaut, p.400

L. Or and . Valeur, de ps apportant une contribution non nulle à A± peut être déduite de (F IV 2014 17) Pour cette valeur de ps, A± vaut l'un des trois éléments de matrice <~'|exp(2iukZ)|~>, où u = 0, ±, éléments de matrice dont l'expression est simple en point de vue de Fourier : (iv) Résolution numérique des équations discrètes Afin de déterminer numériquement les populations stationnaires 03A0 n,q,r , nous effectuons , en sus de la discrétisation déjà mentionnée

. Enfin, notre travail pourrait fournir une base adéquate pour aborder les problèmes fondamentaux que pose l'étude des assemblées d'atomes ultra-froids, qu'il s'agisse de collisions [89-93], de la possible mise en évidence de phénomènes quantiques collectifs, p.415

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