, que nous supposons uniforme et stationnaire La description hamiltonienne, en terme d'équations canoniques, d'un tel système, a posé un problème conceptuel assez important lors des premiers développements de la théorie quantique, du fait que la force magnétique de Lorentz ne dérive pas d'un potentiel au sens usuel du terme. Les premiers résultats quantiques sur ce problème, fondés sur l'utilisation du Théorème de Larmor [74], sont dus à Debye [75] et à Sommerfeld [76] ; les contributions théoriques de Schwartzschild, ont finalement conduit à décrire le problème par le hamiltonien, qui semble, aujourd'hui, p.199, 1920.
, et en prenant le potentiel vecteur associé au champ magnétique (uniforme et stationnaire) B = Bu z sous la forme : A(r) = 1/2B x r (choix de la jauge cylindrique), on peut faire le développement : On reconnait dans cette expression trois termes successifs : 2022 le hamiltonien H 0 de l'Atome d'Hydrogène isolé 2022 un terme linéaire en B, qui décrit l'interaction du moment magnétique atomique avec le champ, et appelé "hamiltonien paramagnétique
, Classical Limit of the Hydrogen Atom, American Journal of Physics, vol.41, issue.4, p.525, 1973.
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, auquel s'ajoute un troisième terme représentant l'interaction d'un moment magnétique 03BC = q 2m03C3 avec le champ magnétique éventuel
, qui représente maintenant la seule correction du premier ordre en W, nous pouvons constater que la symétrie sphérique de l'état de c0153ur |03A6 c > y joue un rôle fondamental, dans la mesure précisément où elle a permis de réduire l'effet d'interaction électrostatique (10) à l'effet de pénétration (13) que nous avons effectivement étudié. Cependant, cette proprité de symétrie sphérique de l'état de coeur n'est exacte que lorsque celui-ci est strictement isolé ; sous l'influence de l'interaction W, qui affecte évidement aussi bien le coeur que l'électron de valence, et qui est certes invariante par rotation d'ensemble, mais pas par rotation du c0153ur séparément, celui ci a donc la possibilité de se déformer (par l'intermédiaire d'une contamination par des états de L = 1 ou plus), l'interaction électrostatique, toujours décrite par W, ne se réduisant plus alors à l'effet de pénétration, 1923.
, Heisenberg Zeits.f.Phys, p.388, 1924.
, Par ailleurs, le coeur Li + étant un système héliumoïde, il a été l'objet de nombreux calculs ad initio, dont certains fournissent des valeurs très précises des polarisabilités : Cohen [184] et J Citons encore les bornes supérieures et inférieures "rigoureuses" 2014 mais nonrelativistes 2014 obtenues par Glover et F.Weinhold [187] : Il résulte de toutes ces valeurs que l'on peut adopter pour la suite la valeur raisonnable suivante : avec une incertitude légèrement inférieure à 1%, ce qui, d'après les ordres de grandeur du a) ci-dessus
, The interpretation of the energies of the 2D states of the lithium atom in terms of the polarization of the core by the outer electron, Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, vol.2, issue.12, p.1411, 1969.
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, de l'état |n, ~ m , ~ s , ~ I >, Chem.Phys, vol.65, issue.4913, 1976.
, on a pu déterminer cette intégrale complète à partir de l'équation H-J, la résolution effective du problème se fait en résolvant le système (algébrique et non plus différentiel) (5) en q(Q, P, t), puis en reportant cette expression dans
, la fonction 03A6 se confond donc avec la " fonction principale de Hamilton", c'est à dire l'action considérée comme une fonction des coordonnées et du temps : l'intégrale (curviligne) étant calculée sur le chemin
, ) donne immédiatement P = p 0 , et la transformation canonique considérée fait donc passer des positions/impulsions au temps t à leur valeur initiale, qui est bien sûr constante. On peut aussi bien considérer la transformée de Legendre de S par rapport, P), t) -P · Q(q, P), qui engendre la même transformation canonique, par les relations équivalentes à
, S' en est aussi solution, et, comme fonction de q, ne diffère de S que par une constante non-significative. C'est cependant une autre intégrale complète de l'équation (H-J) dans la mesure où les n constantes génériques jouent des rôles différents, c'est à dire que les
, on retrouve évidemment le résultat bien connu obtenu par la résolution des équations de Newton, c'est à dire la variation sinusoïdale, et en quadrature
, par définition, p i ~ m03BB i q i , on peut écrire directement le hamiltonien : Pour la description quantique du même problème, on a bien sûr besoin du laplacien exprimé dans ce système de coordonnées, que l'on obtient à partir de la formule générale : soit ici
, équation de Schrödinger pour un potentiel invariant par rotation autour de l'axe polaire V(03BE, ~), on pouura séparer les variables en la multipliant pax 03BE + ~, à la seule condition que le produit (03BE + ~)V(03BE,~) soit lui-même séparable en deux contributions ne dépendant chacune que de l
, ainsi que par leur somme, indépendamment de toute condition sur K et F. Remarquons pour conclure que le seul potentiel central (i.e. indépendant de 03B8 puisqu'on a déjà supposé l'invariance par rotation autour de l'axe polaire) qui soit de la forme, Cette condition est d'ailleurs exactement identique à celle que l'on obtiendrait en Mécanique ClassiqueJacobi stationnaire à partir du hamiltonien donné ci-dessus ( équ.(5)), et elle est en particulier vérifiée par le potentiel coulombien
, Mécanique
, selon lequel le référentiel de repos de l'électron en mouvement dans le potentiel du noyau atomique n'est pas seulement en translation, mais aussi en rotation par rapport au référentiel inertiel "du laboratoire"2014 est très souvent cité comme une propriété "mystérieuse" des transformations de Lorentz mais la démonstration n'en est que très rarement donnée, 2014.
, étant pas la plus élémentaire, est cependant assez courte pour être rappelée ici Elle n'utilise pas directement le calcul sur les matrices 4 x 4 de SO(3,1)(R) représentant les transformations de Lorentz sur les quadri-vecteurs de l'espace-temps, mais repose sur l'utilisation de la représentation "spinorielle" 1 de celles-ci, et implique donc seulement les matrices 2 x 2 de SL
, la transformation de Lorentz la plus générale, comportant à la fois une rotation d'angle 0398 et une transformation "spéciale" caractérisée par la la "rapidité
, peut être représentée par la matrice 2 x 2 : dans laquelle la notation 03C3 désigne le vecteur formé des trois matrices de Pauli Cela signifie bien sûr que les rotations sont engendrées par l'opérateur 03C3/2, comme c'est le cas pour une particule de spin 1/2 dans la théorie de Pauli, et que les transformations de Lorentz spéciales, elles, sont engendrées par l'opérateur i03C3/2. En utilisant les propriétés bien connues des matrices de Pauli, et spécialement l'identité : on peut en particulier écrire l'expression explicite d'une rotation finie
, un peu ésotérique, montre que l'on passe de R e (t) à R e (t + dt) par une transformation de Lorentz qui comporte à la fois un
, On notera en particulier que, à la limite v « c, on a un comportement différent des deux quantités d03A8 ~ dv/c et d0398 ~ v 2 /c 2 , ce qui, en conservant uniquement les termes du premier ordre en v/c, permet de retrouver le résultat non-relativiste, ne comportant pas de rotation, mais seulement le
, angle d0398 obtenu est proportionnel à dt, cela signifie bien que le référentiel de repos de l'électron R e (t) subit un mouvement de précession par rapport à R L , dont la vitesse angulaire s'écrit, d'après, p.et
, (t) on a effectivement le champ magnétique motionnel B m évalué dans le texte principal, et le hamiltonien correspondant : mais le changement de référentiel, pour revenir dans le référentiel du laboratoire, fait apparaître un terme supplémentaire dans le hamiltonien, qui s'écrit, en toute généralité
, Mécanique Quantique, 1969.
, III -1 2014 Équations générales Le développement des fonctions d'onde (pour un atome ou ion héliumoïde dans un état S) sur les polynômes de Legendre : dont nous avons exposé le principe et l'intérêt au III.D.2.? du texte principal, conduit, nous l'avions dit, à remplacer l'équationde Schrödinger stationnaire par un système (infini) d'équations différentielles linéaires satisfaites par les fonctions radiales ~ 03BB
, il nous faut intervertir l'ordre des intégrations sur r et sur k que contient l'expression (15) Or la fonction d'onde de l'état lié |n> contient une décroissance exponentielle pour r ~ ~, ainsi qu'une décroissance en r ~ (~ 1) pour r ~ 0, ce qui assure la convergence de l'intégrale telle qu'elle est écrite dans (15) ; il n'en est plus de même dans le cas où nous ferions en premier lieu l'intégration sur k
, ce qui correspond bien sûr aux faibles distances, n'a rien d'essentiel, mais traduit simplement le fait que la "fonction" de r représentée par cette intrégrale ne doit pas être considérée comme une vraie fonction, mais comme une distribution définie sur un espace de fonctions plus petit que celui qui permet la convergence de l'intégrale (15) En conséquence, un moyen de s'affranchir de ce problème consiste à rajouter dans celle-ci un facteur de régularisation e -03BCk
, du déplacement d'énergie peut être mise sous la forme 0394E I-T ~ & # x 3 C ; n |V eff I-T |n>, c'est à dire de la valeur moyenne dans l'état |n> de l'électron externe d'un "potentiel effectif", qui reste défini par l'intermédiaire d'une sommation sur les états c et v
, E c0 : iii) Obtention des termes dominants Ce développement permet en effet de décomposer le potentiel effectif en autant de termes V (i) I-T , et pour chacun d'entre eux, de factoriser la sommation sur les états du c0153ur, et de la sortir de l'intégrale sur k, ce qui permet, comme souhaité, d'éliminer les degrés de liberté de celui-ci, qui n'intervient plus dans chaque terme que par l'intermédiaire d'un simple coefficient. Enfin, la sommation sur les états de V peut elle-même être formellement éliminée en utilisant la relation de fermeture correspondante
, on obtient finalement : soit, en unités atomiques : Exactement de la même façon, il vient pour les deux termes suivants : On en déduit de façon similaire les expressions explicites : soit, en unités atomiques : où l'on a utilisé les coefficients
, par exemple les premiers chapitres de "Exp. Atomic Phys Harnwell &, 1933.
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