A Logical Investigation of Interaction Systems
Une investigation logique des systèmes d'interaction
Résumé
The topic of this thesis is the study of interaction systems, a notion modeling interactions between a program and its environment.
The first part develops the general theory of those interaction systems in Martin-Löf dependent type theory. It introduces several inductive and coinductive definitions of interest on those interaction systems. We study in particular the strong link between interaction systems and formal topology and give an application by formulating a completeness theorem (in terms of interaction systems) with respect to a topological semantics for (linear) geometric theories.
In all the thesis, a central notion is that of _simulations:_ it allows to define the notion of morphism between interaction systems. It is possible to prove an equivalence between this category and the simpler category of predicate transformers.
We can then translate the constructions from the first part in this new context and obtain a new denotational model for linear logic. This model is then extended to second-order.
Finally, specific properties of interaction systems / predicate transformers are used to give a model of the differential lambda-calculus. This presupposes the addition of non-determinism, which is fully supported by interaction systems / predicate transformers.
The first part develops the general theory of those interaction systems in Martin-Löf dependent type theory. It introduces several inductive and coinductive definitions of interest on those interaction systems. We study in particular the strong link between interaction systems and formal topology and give an application by formulating a completeness theorem (in terms of interaction systems) with respect to a topological semantics for (linear) geometric theories.
In all the thesis, a central notion is that of _simulations:_ it allows to define the notion of morphism between interaction systems. It is possible to prove an equivalence between this category and the simpler category of predicate transformers.
We can then translate the constructions from the first part in this new context and obtain a new denotational model for linear logic. This model is then extended to second-order.
Finally, specific properties of interaction systems / predicate transformers are used to give a model of the differential lambda-calculus. This presupposes the addition of non-determinism, which is fully supported by interaction systems / predicate transformers.
Cette thèse, s'intéresse aux systèmes d'interaction, une notion visant à modéliser les interactions entre un système informatique et son environnement.
La première partie développe, dans le cadre de la théorie des types de Martin-Löf, la théorie de base des systèmes d'interaction et des constructions inductives et co-inductives qu'ils permettent. On trouve dans cette partie une étude des liens entre systèmes d'interaction et topologies formelles et une formulation (en terme de systèmes d'interaction) d'un théorème de complétude vis-à-vis d'une sémantique topologique des théories géométriques (linéaires).
Dans cette étude, la notion complètement standard de simulation, joue un rôle fondamental car elle permet de définir la notion de morphisme entre systèmes d'interaction. Ceci permet d'établir une équivalence entre la catégorie ainsi définie et une autre catégorie, beaucoup plus simple à décrire, celle des transformateurs de prédicats.
En traduisant dans ce nouveau vocabulaire les constructions précédentes, on observe que les transformateurs de prédicats forment un nouveau modèle de la logique linéaire, qui est décrit puis étendu au second ordre.
Enfin, les propriétés particulières des systèmes d'interaction / transformateurs de prédicats sont mises à profit pour donner une interprétation du lambda-calcul différentiel. Cela suppose d'introduire du non déterminisme, ce que les systèmes d'interaction et les transformateurs de prédicats permettent de faire.
La première partie développe, dans le cadre de la théorie des types de Martin-Löf, la théorie de base des systèmes d'interaction et des constructions inductives et co-inductives qu'ils permettent. On trouve dans cette partie une étude des liens entre systèmes d'interaction et topologies formelles et une formulation (en terme de systèmes d'interaction) d'un théorème de complétude vis-à-vis d'une sémantique topologique des théories géométriques (linéaires).
Dans cette étude, la notion complètement standard de simulation, joue un rôle fondamental car elle permet de définir la notion de morphisme entre systèmes d'interaction. Ceci permet d'établir une équivalence entre la catégorie ainsi définie et une autre catégorie, beaucoup plus simple à décrire, celle des transformateurs de prédicats.
En traduisant dans ce nouveau vocabulaire les constructions précédentes, on observe que les transformateurs de prédicats forment un nouveau modèle de la logique linéaire, qui est décrit puis étendu au second ordre.
Enfin, les propriétés particulières des systèmes d'interaction / transformateurs de prédicats sont mises à profit pour donner une interprétation du lambda-calcul différentiel. Cela suppose d'introduire du non déterminisme, ce que les systèmes d'interaction et les transformateurs de prédicats permettent de faire.
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