Identifiability of systems of semi-discretized partial differential equations and application to the parametric identifiability of models relevant to pharmacokinetics and pollution.
Identifiabilité de systèmes d'équations aux dérivées partielles semi-discrétisées et applications à l'identifiabilité paramétrique de modèles en pharmacocinétique et en pollution.
Résumé
Before estimating the parameters appearing in a linear or non-linear, controlled or uncontrolled, dynamical system, it is necessary to study the unicity of the parameters compared to the experimental data. This study is still called identifiability. Several methods were developed these last years, in particular the input-output method based on the use of differential algebra. The results obtained from it make it possible to set up numerical methods to obtain a first estimate of the parameters, this without any knowledge a priori of their value. This first estimate can then be used as starting point of iterative algorithms specialized in the study of the ill-posed problems: the regularization of Tikhonov.
In this thesis, two nonlinear models in pharmacokinetic were first of all studied. Then, we were interested in a model of pollution described by a parabolic partial derivative equation. The source term to be identified was modelled by the product of the function flow with the Dirac mass, of support the position of the polluting source. The goal of the work was to provide a first estimate of the polluting source. After having obtained the identifiability of the continuous problem, the identifiability of an approximated model was obtained by using the
step of input-output method. The approximated model was obtained by approaching the Dirac mass by a Gaussian function and by discretizing the system in space then. The results of identifiability were obtained whatever the number of points of discretization in space. From this study, we deduced numerical algorithms giving a first estimate of the polluting source.
In this thesis, two nonlinear models in pharmacokinetic were first of all studied. Then, we were interested in a model of pollution described by a parabolic partial derivative equation. The source term to be identified was modelled by the product of the function flow with the Dirac mass, of support the position of the polluting source. The goal of the work was to provide a first estimate of the polluting source. After having obtained the identifiability of the continuous problem, the identifiability of an approximated model was obtained by using the
step of input-output method. The approximated model was obtained by approaching the Dirac mass by a Gaussian function and by discretizing the system in space then. The results of identifiability were obtained whatever the number of points of discretization in space. From this study, we deduced numerical algorithms giving a first estimate of the polluting source.
Avant d'estimer les paramètres intervenant dans des systèmes dynamiques, linéaires ou non-linéaires, contrôlés ou non contrôlés, il est important d'effectuer une étude d'identifiabilité, c'est à dire si, à partir des données expérimentales, les paramètres étudiés sont uniques ou non. Plusieurs méthodes ont été développées ces dernières années, en particulier une qui est basée sur l'algèbre différentielle. Celle-ci a conduit à un algorithme utilisant le package Diffalg implémenté sous Maple et permettant de tester l'identifiabilité de systèmes d'équations différentielles. Les résultats obtenus à partir de cette étude permettent de mettre en place des méthodes numériques pour obtenir une première estimation des paramètres, ceci sans aucune connaissance à priori de leur valeur. Cette première estimation peut alors être utilisée comme point de départ d'algorithmes itératifs spécialisés dans l'étude des problèmes mal posés : la régularisation de Tikhonov.
Dans cette thèse, deux modèles non linéaires en pharmacocinétique de type Michaelis-Menten ont tout d'abord été étudiés. Ensuite, nous nous sommes intéressés à un modèle de pollution décrit par une équation aux dérivées partielles parabolique. Le terme source à identifier était modélisé par le produit de la fonction débit avec la masse de Dirac, de support la position de la source polluante. Le but du travail était de fournir une première estimation de la source polluante. Après avoir obtenu l'identifiabilité du problème continu, nous avons étudié l'identifiabilité d'un problème approché en nous appuyant sur les méthodes d'algèbre différentielle. Celui-ci a été obtenu en approchant la masse de Dirac par une fonction gaussienne et en discrétisant ensuite le système en espace. Les résultats d'identifiabilité ont été obtenus quel que soit le nombre de points de discrétisation en espace. De cette étude théorique, nous en avons déduit des algorithmes numériques donnant une première estimation des paramètres à identifier.
Dans cette thèse, deux modèles non linéaires en pharmacocinétique de type Michaelis-Menten ont tout d'abord été étudiés. Ensuite, nous nous sommes intéressés à un modèle de pollution décrit par une équation aux dérivées partielles parabolique. Le terme source à identifier était modélisé par le produit de la fonction débit avec la masse de Dirac, de support la position de la source polluante. Le but du travail était de fournir une première estimation de la source polluante. Après avoir obtenu l'identifiabilité du problème continu, nous avons étudié l'identifiabilité d'un problème approché en nous appuyant sur les méthodes d'algèbre différentielle. Celui-ci a été obtenu en approchant la masse de Dirac par une fonction gaussienne et en discrétisant ensuite le système en espace. Les résultats d'identifiabilité ont été obtenus quel que soit le nombre de points de discrétisation en espace. De cette étude théorique, nous en avons déduit des algorithmes numériques donnant une première estimation des paramètres à identifier.