Mathematical study and asymptotic analysis of some problems of lubrication by incompressible fluids essentially non-Newtonian with the non-adherence conditions at boundaries.
Etude mathématique et analyse asymptotique de quelques problèmes de lubrification par des fluides incompressibles essentiellement non-Newtoniens avec des conditions de non adhérence aux bords.
Résumé
In this thesis, we study some problems of lubrication by isothermal and non-isothermal non-Newtonian fluids in a thin film $\Omega^{\varepsilon}$ with the condition of Tresca at the bottom of $\Omega^{\varepsilon}$.
In the first chapter, we consider an isothermal non-Newtonian fluids whose viscosity follows the power law, we show the existence and uniqueness of the solution by using theorical results of the pseudo-monotonous operators. Then, we study the asymptotic analysis when $\varepsilon \rightarrow 0$. Thus, we obtain a limit problem, and we show the uniqueness of its solutions.
In the second chapter, we study the problem in the non-isothermal case. The problem obtained is complex and strongly nonlinear. The difficulty here is the proof of the theorem giving the existence of the solutions, as well as the a priori estimates on the gradient of the temperature.
In the third chapter, we study the Navier-Stokes equation, where the parameter $\varepsilon$ is also present in the movement equation in the form of the Reynolds number $\varepsilon^{\gamma}$ , and in the condition of friction of Tresca. We show the existence and the uniqueness of the solutions under a condition on $\varepsilon$ and $\gamma$. By a similar technics to that used in the previous chapters, we obtain the convergence results of the solution towards the limit problem solution.
In the last chapter, we treat another model of non-Newtonian fluids, the viscoplastic fluids of Bingham. We suppose in more of the condition of Tresca, another condition of Fourier at the Top of $\Omega^{\varepsilon}$. The difficulties here are technical and relate to the a priori estimates, especially to estimate the terms at boundaries.
In the first chapter, we consider an isothermal non-Newtonian fluids whose viscosity follows the power law, we show the existence and uniqueness of the solution by using theorical results of the pseudo-monotonous operators. Then, we study the asymptotic analysis when $\varepsilon \rightarrow 0$. Thus, we obtain a limit problem, and we show the uniqueness of its solutions.
In the second chapter, we study the problem in the non-isothermal case. The problem obtained is complex and strongly nonlinear. The difficulty here is the proof of the theorem giving the existence of the solutions, as well as the a priori estimates on the gradient of the temperature.
In the third chapter, we study the Navier-Stokes equation, where the parameter $\varepsilon$ is also present in the movement equation in the form of the Reynolds number $\varepsilon^{\gamma}$ , and in the condition of friction of Tresca. We show the existence and the uniqueness of the solutions under a condition on $\varepsilon$ and $\gamma$. By a similar technics to that used in the previous chapters, we obtain the convergence results of the solution towards the limit problem solution.
In the last chapter, we treat another model of non-Newtonian fluids, the viscoplastic fluids of Bingham. We suppose in more of the condition of Tresca, another condition of Fourier at the Top of $\Omega^{\varepsilon}$. The difficulties here are technical and relate to the a priori estimates, especially to estimate the terms at boundaries.
Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes de lubrification par des fluides non-Newtoniens isothermes et non-isothermes, dans un domaine mince $\Omega^{\varepsilon}$ d'épaisseur de l'ordre de ${\varepsilon}$, avec la condition de frottement de Tresca sur le bord inférieur de $\Omega^{\varepsilon}$. Dans le premier chapitre, nous considérons un fluide non-Newtonien isotherme dont la viscosité suit la loi de puissance. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution $(u^{\varepsilon}, p^{\varepsilon})$ en utilisant des résultats abstraits des opérateurs pseudo-monotones. Ensuite, nous étudions le comportement asymptotique des solutions lorsque $\varepsilon \rightarrow 0$. Nous obtenons ainsi un problème limite, et nous montrons l'unicité des ses solutions. Dans le deuxième chapitre, nous étudions le problème dans le cas non-isotherme. Le système obtenu est complexe, fortement non linéaire, couplant l'équation de la conservation de la quantité du mouvement avec l'équation de la chaleur. La difficulté ici est la preuve du théorème donnant l'existence des solutions, ainsi que les estimations a priori sur la température. Dans le troisième chapitre, nous étudions une variante des équations de Navier-Stokes, où le paramètre $\varepsilon $ est présent aussi dans l'équation de la conservation de la quantité du mouvement sous forme d'un nombre de Reynolds $\varepsilon^{\gamma}$ et dans la condition de frottement de Tresca. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution sous des conditions sur $\varepsilon$ et $\gamma$. Par des techniques semblables à celles utilisées dans les chapitres précédents, nous obtenons le résultat de convergence de la solution $(u^{\varepsilon},p^{\varepsilon})$ vers la solution du problème limite et nous montrons l'unicité de sa solution. Dans le dernier chapitre, nous étudions un autre modèle de fluide non-Newtonien, le fluide visco-plastique de Bingham. Nous supposons en plus de la condition de Tresca sur le bord inférieur, une condition de Fourier sur le bord supérieur. Nous suivons le même schéma d'étude que précédement, les difficultés sont techniques et concernent les estimations a priori, surtout la majoration des termes aux bords.