Deformations of Einstein metrics on manifolds with cone-like singularities

Déformations de métriques Einstein sur des
variétés à singularités coniques

Grégoire Montcouquiol (1)

1 LEP - Laboratoire Émile Picard

Starting with a compact hyperbolic cone-manifold of dimension n>2, we study the deformations of the metric in order to get Einstein cone-manifolds. If the singular locus is a closed codimension 2 submanifold and all cone angles are smaller than 2pi, we show that there is no non-trivial infinitesimal Einstein deformations preserving the cone angles. This result can be interpreted as a higher-dimensional case of the celebrated Hodgson and Kerckhoff's theorem on deformations of hyperbolic 3-cone-manifolds.
If all cone angles are smaller than pi, we also give a construction which associates to any variation of the angles a corresponding infinitesimal Einstein deformation.

Partant d'une cône-variété hyperbolique compacte de dimension n>2, on étudie les déformations de la métrique dans le but d'obtenir des cônes-variétés Einstein. Dans le cas où le lieu singulier est une sous-variété fermée de codimension 2 et que tous les angles coniques sont plus petits que 2pi, on montre qu'il n'existe pas de déformations Einstein infinitésimales non triviales préservant les angles coniques. Ce résultat peut s'interpréter comme une généralisation en dimension supérieure du célèbre théorème de Hodgson et Kerckhoff sur les déformations des cônes-variétés hyperboliques de dimension 3.
Si tous les angles coniques sont inférieurs à pi, on donne ensuite une construction qui à chaque variation donnée des angles associe une déformation Einstein infinitésimale correspondante.

Mots clés: differential geometry; riemannian geometry; Einstein metrics; cone-manifolds; infinitesimal rigidity; partial differential equations; elliptic equations; manifolds with boundary; geometric analysis

Mots clés: géométrie différentielle; géométrie riemannienne; métriques Einstein; <br />cônes-variétés; rigidité infinitésimale; équations aux dérivées partielles; équations elliptiques; variétés<br />à bord; analyse géométrique

Domaines: Mathématiques [math]

Grégoire Montcouquiol. Déformations de métriques Einstein sur des
variétés à singularités coniques. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00011474⟩