Convergence of filtrations ; applications to the discretization of processes and to the stability of stopping times.
Convergence de filtrations ; application à la discrétisation de processus et à la stabilité de temps d'arrêt.
Résumé
This thesis deals with properties of stability of stopping problems when we don't have all the information on the model. The natural filtration of a process represent the information carried by the process along the time. Then, the properties of the sequences of natural filtrations associated to the processes are very important in this work. A first part of this study is about the stability of the notions of value in optimal stopping problem and of optimal stopping time. The first notion is the maximum value of the expectation of a function that depends on a process and on a stopping time, value taken on the set of stopping times for the natural filtration of the process. An optimal stopping time is a stopping time which realises the maximum. The second part is about the stability of the solutions of a backward stochastic differential equation with an almost surely finite terminal time when the Brownian motion that drives the equation is approximated either by a sequence of random walks, either by a sequence of martingales.
Cette thèse porte sur des propriétés de stabilité de problèmes d'arrêt dans le cas où l'on dispose d'une information approximative sur le modèle. La filtration engendrée par un processus représente l'information véhiculée par ce processus au cours du temps. Aussi, les propriétés des suites de filtrations associées à des suites de processus jouent un grand rôle dans ce travail. Un premier axe d'étude concerne la stabilité des notions de réduites et de temps d'arrêt optimaux. Une réduite est la valeur maximale de l'espérance d'une fonction dépendant d'un processus et d'un temps d'arrêt, maximum pris sur l'ensemble des temps d'arrêt pour la filtration engendrée par le processus. Un temps d'arrêt optimal est un temps d'arrêt réalisant le maximum. Le second axe concerne la stabilité de solutions d'équations différentielles stochastiques rétrogrades à horizon aléatoire fini presque sûrement quand le mouvement brownien dirigeant l'équation est approché soit par une suite de marches aléatoires, soit par une suite de martingales.