Functional equations for a function on a singular space
Equations fonctionnelles pour une fonction sur
un espace singulier
Résumé
Consider an analytic complete intersection X in a complex manifold V, defined by a morphism g. In order to extend to the singular case some results of the theory of Bernstein-Sato polynomials, we study Bernstein polynomials of an analytic function f on V associated to sections of the local cohomology module R with support in X. Indeed, it follows from the algebraic construction of vanishing cycles that the roots of these polynomials are intimately connected to eigenvalues of the local monodromy of f on X.
We begin with some results on Bernstein polynomials associated to sections of a holonomic D-Module. Then we study the cases of X smooth, and of f smooth, X a hypersurface. Next, we study the existence of generic and relative Bernstein polynomials
associated to sections of R and attached to an analytic
deformation. We link these problems to the geometry of conormal spaces.
Following ideas of B. Malgrange, we give a construction for studying
Bernstein polynomials associated to sections of R when the morphisms g and (f,g) define isolated complete intersection singularities. Our construction needs g to be the weighted homogeneous, and it requires computations of annihilators. Finally, we describe several computations which use this result. First, we
give an algorithm to compute Bernstein polynomials if in addition to the usual hypotheses, we suppose that the initial form of f defines an isolated singularity on X. When f is in fact quasi-homogeneous, we obtain explicit formulas. We end this work with complete computations when X is a nondegenerate quadratic cone.
We begin with some results on Bernstein polynomials associated to sections of a holonomic D-Module. Then we study the cases of X smooth, and of f smooth, X a hypersurface. Next, we study the existence of generic and relative Bernstein polynomials
associated to sections of R and attached to an analytic
deformation. We link these problems to the geometry of conormal spaces.
Following ideas of B. Malgrange, we give a construction for studying
Bernstein polynomials associated to sections of R when the morphisms g and (f,g) define isolated complete intersection singularities. Our construction needs g to be the weighted homogeneous, and it requires computations of annihilators. Finally, we describe several computations which use this result. First, we
give an algorithm to compute Bernstein polynomials if in addition to the usual hypotheses, we suppose that the initial form of f defines an isolated singularity on X. When f is in fact quasi-homogeneous, we obtain explicit formulas. We end this work with complete computations when X is a nondegenerate quadratic cone.
Afin d'étendre à un cadre singulier des résultats de la théorie du polynôme de Bernstein-Sato, nous étudions ici les polynômes de Bernstein d'une fonction analytique f associée aux sections du module de cohomologie locale algébrique R à support une intersection complète locale X définie par un morphisme analytique g. En effet, il résulte de la construction algébrique des cycles évanescents que les racines de ces polynômes sont étroitement liées aux valeurs propres de la monodromie locale de f sur X.
Après avoir donné des résultats sur les polynômes de Bernstein associés aux sections d'un D-Module holonome, nous faisons l'étude du cas g lisse à l'origine, puis f lisse et X hypersurface. Nous étudions ensuite l'existence de polynômes de Bernstein génériques et relatifs des sections de R associées à une déformation analytique, reliant ces questions à la géométrie d'espaces conormaux.
Reprenant des idées de B. Malgrange, nous donnons ensuite une construction adaptée à l'étude des polynômes de Bernstein des sections de R lorsque les morphismes g et (f,g) définissent des intersections complètes à singularité isolée à l'origine. Cette construction impose notamment la quasi-homogénéité de g et nécessite des calculs d'annulateurs. Nous nous consacrons enfin aux calculs de polynômes de Bernstein basés sur ces résultats. Nous donnons d'abord un algorithme de calcul lorsque en plus des hypothèses adéquates, nous supposons que la partie initiale de f définit une singularité isolée sur X. Quand de plus f est quasi-homogène, nous obtenons des formules explicites. Nous terminons notre étude par des exemples de calculs lorsque X est un cône quadratique non dégénéré.
Après avoir donné des résultats sur les polynômes de Bernstein associés aux sections d'un D-Module holonome, nous faisons l'étude du cas g lisse à l'origine, puis f lisse et X hypersurface. Nous étudions ensuite l'existence de polynômes de Bernstein génériques et relatifs des sections de R associées à une déformation analytique, reliant ces questions à la géométrie d'espaces conormaux.
Reprenant des idées de B. Malgrange, nous donnons ensuite une construction adaptée à l'étude des polynômes de Bernstein des sections de R lorsque les morphismes g et (f,g) définissent des intersections complètes à singularité isolée à l'origine. Cette construction impose notamment la quasi-homogénéité de g et nécessite des calculs d'annulateurs. Nous nous consacrons enfin aux calculs de polynômes de Bernstein basés sur ces résultats. Nous donnons d'abord un algorithme de calcul lorsque en plus des hypothèses adéquates, nous supposons que la partie initiale de f définit une singularité isolée sur X. Quand de plus f est quasi-homogène, nous obtenons des formules explicites. Nous terminons notre étude par des exemples de calculs lorsque X est un cône quadratique non dégénéré.