Odd symplectic flag manifolds
Variétés de drapeaux symplectiques impaires
Résumé
Symplectic grassmannians and, more generally, symplectic flag manifolds, are the varieties of isotropic subspaces, respectively flags of isotropic subspaces, with respect to a nondegenerate skew form. These are the projective homogeneous varieties of the symplectic group.
We study odd symplectic grassmannians and flag manifolds, which are analogous objects defined with respect to a generic skew form on an odd dimensional complex vector space. These varieties are provided with natural actions of the odd symplectic group of linear transformations preserving the skew form. We show that even if these actions are not transitive, these varieties share a lot of properties with homogeneous varieties.
In particular, we compute the automorphisms groups of odd symplectic grassmannians and obtain that all these automorphisms come from the action of the odd symplectic group. We establish a Borel-Weil type theorem for the odd symplectic group and explain the relation between certain classes of representations of this group constructed by Proctor and by Shtepin.We study as well the equivariant cohomology of the variety of maximal odd symplectic flags. We obtain a Chevalley-Pieri type formula and we describe a Borel presentation of the equivariant cohomology ring. From the latter we infer that the ordinary cohomology ring of the variety of maximal odd symplectic flags is isomorphic with the ordinary cohomology ring of the variety of quadratic flags.
We study odd symplectic grassmannians and flag manifolds, which are analogous objects defined with respect to a generic skew form on an odd dimensional complex vector space. These varieties are provided with natural actions of the odd symplectic group of linear transformations preserving the skew form. We show that even if these actions are not transitive, these varieties share a lot of properties with homogeneous varieties.
In particular, we compute the automorphisms groups of odd symplectic grassmannians and obtain that all these automorphisms come from the action of the odd symplectic group. We establish a Borel-Weil type theorem for the odd symplectic group and explain the relation between certain classes of representations of this group constructed by Proctor and by Shtepin.We study as well the equivariant cohomology of the variety of maximal odd symplectic flags. We obtain a Chevalley-Pieri type formula and we describe a Borel presentation of the equivariant cohomology ring. From the latter we infer that the ordinary cohomology ring of the variety of maximal odd symplectic flags is isomorphic with the ordinary cohomology ring of the variety of quadratic flags.
Les grassmanniennes symplectiques et, plus généralement, les variétés de drapeaux symplectiques, sont les variétés de sous-espaces isotropes, respectivement de drapeaux de sous-espaces isotropes, relativement à une 2-forme antisymétrique non dégénérée. Ce sont les variétés projectives homogènes du groupe symplectique.
Nous étudions les grassmanniennes et les variétés de drapeaux symplectiques impaires, qui sont des objets analogues associés à une 2-forme antisymétrique générique sur un espace vectoriel complexe de dimension impaire. Ces variétés sont munies d'actions naturelles du groupe symplectique impair des transformations linéaires qui préservent la forme antisymétrique. Nous montrons que, bien que ces actions ne soient pas transitives, ces variétés partagent de nombreuses propriétés avec les variétés homogènes.
En particulier, nous calculons le groupe d'automorphismes des grassmanniennes symplectiques impaires et obtenons que tous ces automorphismes proviennent de l'action du groupe symplectique impair. De même, nous établissons un théorème de type Borel-Weil pour le groupe symplectique impair et explicitons le lien entre certaines classes de représentations de ce groupe construites par Proctor et par Shtepin. Nous étudions également la cohomologie équivariante de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux. Nous obtenons une formule de type Chevalley-Pieri et nous donnons une présentation à la Borel de l'anneau de cohomologie équivariante. De cette dernière, nous déduisons que l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux est isomorphe à l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété de drapeaux quadratiques.
Nous étudions les grassmanniennes et les variétés de drapeaux symplectiques impaires, qui sont des objets analogues associés à une 2-forme antisymétrique générique sur un espace vectoriel complexe de dimension impaire. Ces variétés sont munies d'actions naturelles du groupe symplectique impair des transformations linéaires qui préservent la forme antisymétrique. Nous montrons que, bien que ces actions ne soient pas transitives, ces variétés partagent de nombreuses propriétés avec les variétés homogènes.
En particulier, nous calculons le groupe d'automorphismes des grassmanniennes symplectiques impaires et obtenons que tous ces automorphismes proviennent de l'action du groupe symplectique impair. De même, nous établissons un théorème de type Borel-Weil pour le groupe symplectique impair et explicitons le lien entre certaines classes de représentations de ce groupe construites par Proctor et par Shtepin. Nous étudions également la cohomologie équivariante de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux. Nous obtenons une formule de type Chevalley-Pieri et nous donnons une présentation à la Borel de l'anneau de cohomologie équivariante. De cette dernière, nous déduisons que l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux est isomorphe à l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété de drapeaux quadratiques.