Some relations between algebraic properties of transformation groups and the
geometry of spaces
Quelques relations entre propriétés algébriques des groupes de transformation et géométrie des espaces
Résumé
We are interested in (discrete and isometric) actions of a group $\Gamma$ on a measured metric space $X$ and in estimating how these actions separate points. The classical Margulis lemma is a basic result in this subject when $X$ is a simply connected manifold with
negative and bounded curvature. A recent version (due to G. Besson, G. Courtois and S. Gallot) generalises this to the case where $X$ is a
measured metric space with bounded entropy, but it is essentially limited to the case where the group $\Gamma$ is the fundamental group of some manifold with bounded negative curvature and injectivity radius bounded from below. We show that the latter result (and its
geometric corollaries) can be generalized to a larger class ${\cal C}$ of groups (containing word-hyperbolic
groups, free products and malnormal amalgamated products) and to quasi-actions by quasi-isometries (with eventual fixed points) of such groups on a measured metric space of bounded entropy. Applying this result in the case where $X$ is the Cayley graph of a group $G$ which is commensurable to some group $\Gamma \in {\cal C }$, we obtain finiteness results which apply in particular to word-hyperbolic groups
and to fundamental groups of manifolds with bounded diameter. These results aim to understand the questions about the existence of some universal lower bound of the algebraic entropy (for the set of such groups $G$) and about the existence, for any such group, of a generating set with minimal entropy.
negative and bounded curvature. A recent version (due to G. Besson, G. Courtois and S. Gallot) generalises this to the case where $X$ is a
measured metric space with bounded entropy, but it is essentially limited to the case where the group $\Gamma$ is the fundamental group of some manifold with bounded negative curvature and injectivity radius bounded from below. We show that the latter result (and its
geometric corollaries) can be generalized to a larger class ${\cal C}$ of groups (containing word-hyperbolic
groups, free products and malnormal amalgamated products) and to quasi-actions by quasi-isometries (with eventual fixed points) of such groups on a measured metric space of bounded entropy. Applying this result in the case where $X$ is the Cayley graph of a group $G$ which is commensurable to some group $\Gamma \in {\cal C }$, we obtain finiteness results which apply in particular to word-hyperbolic groups
and to fundamental groups of manifolds with bounded diameter. These results aim to understand the questions about the existence of some universal lower bound of the algebraic entropy (for the set of such groups $G$) and about the existence, for any such group, of a generating set with minimal entropy.
On s'intéresse ici aux actions (discrètes, par isométries) d'un groupe $\Gamma$ sur un espace métrique mesuré $X$ et à la manière dont ces actions écartent les points. Le lemme de Margulis classique conclut lorsque $X$ est une variété simplement connexe de courbure strictement négative et bornée. Une version récente (due à G. Besson, G. Courtois et S. Gallot) conclut lorsque $X$ est un espace métrique mesuré d'entropie bornée, mais est essentiellement limitée au cas où $\Gamma$ est un groupe fondamental d'une variété de courbure négative
majorée et de rayon d'injectivité minoré. Nous montrons que ce dernier résultat (et ses applications géométriques) se généralise à une classe ${\cal C}$ plus vaste de groupes (qui contient les groupes hyperboliques selon Gromov, les produits libres et les produits amalgamés ``malnormaux'') et aux quasi-actions par quasi-isométries (avec points fixes éventuels) de ces groupes sur un espace métrique mesuré d'entropie bornée. Nous montrons aussi que ${\cal C}$ est fermé pour une topologie naturelle. Nous appliquons ce résultat au cas où $X$ est le graphe de Cayley d'un groupe $G$ commensurable à un groupe $\Gamma \in {\cal C}$, obtenant des résultats
de finitude qui s'appliquent en particulier aux groupes hyperboliques selon Gromov et aux groupes fondamentaux de variétés de diamètre borné. Ces derniers résultats apportent un éclairage nouveau aux questions de l'existence d'un minorant universel de l'entropie pour l'ensemble des groupes $G$ de ce type et de l'existence, pour chacun de ces groupes, d'un système générateur d'entropie algébrique minimale.
majorée et de rayon d'injectivité minoré. Nous montrons que ce dernier résultat (et ses applications géométriques) se généralise à une classe ${\cal C}$ plus vaste de groupes (qui contient les groupes hyperboliques selon Gromov, les produits libres et les produits amalgamés ``malnormaux'') et aux quasi-actions par quasi-isométries (avec points fixes éventuels) de ces groupes sur un espace métrique mesuré d'entropie bornée. Nous montrons aussi que ${\cal C}$ est fermé pour une topologie naturelle. Nous appliquons ce résultat au cas où $X$ est le graphe de Cayley d'un groupe $G$ commensurable à un groupe $\Gamma \in {\cal C}$, obtenant des résultats
de finitude qui s'appliquent en particulier aux groupes hyperboliques selon Gromov et aux groupes fondamentaux de variétés de diamètre borné. Ces derniers résultats apportent un éclairage nouveau aux questions de l'existence d'un minorant universel de l'entropie pour l'ensemble des groupes $G$ de ce type et de l'existence, pour chacun de ces groupes, d'un système générateur d'entropie algébrique minimale.
Mots clés
Actions of Groups
Margulis Lemma
Injectivity radius
Entropy of Groups and of Metric Spaces
Finiteness Theorems
Fundamental Groups (negatively curved case)
Word-hyperbolic Groups
Free and Amalgamated products
Cayley graph
Realized Algebraic Entropy
Universal lower bounds for Algebraic Entropy
Actions de groupes
Lemme de Margulis
Rayon d'injectivité
Entropie des groupes et des espaces métriques
Théorèmes de finitude
Groupes fondamentaux des variétés de courbure négative
Groupes hyperboliques selon Gromov
Produits libres et amalgamés
Graphe de Cayley
Réalisation de l'entropie algébrique
Minorations universelles pour l'entropie algébrique
Quasi-isométries
Domaines
Mathématiques [math]
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