Closed ideals of Beurling algebras and applications to operator - sets of uniqueness
Idéaux fermés de certaines algèbres de beurling et applications aux opérateurs - Ensembles d'unicité
Résumé
In the first part, we study operators with spectrum included in the unit circle $\bbt$. We obtain results concerning growth of $\| T^{-n} \| \, (n \geq 0)$ for operators $T$ with countable spectrum or spectrum satisfying geometric conditions. For this, we need to work in the spaces
$$
A_{\omega}(\bbt) = \Big\{ f \textrm{ continuous on } \bbt : \, \big\| f \big\|_{\omega} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} | \widehat{f}(n) | \omega(n) < +\infty \Big\},
$$
where $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ is a sequence of non-negative real numbers, and $\widehat{f}(n)$ denotes the $\textrm{n}^{\textrm{th}}$ Fourier coefficient of $f$. When $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ is a weight, $\big( A_{\omega}(\bbt), \| \, \|_{\omega} \big)$ is a Banach algebra. We obtain the characterisation of some closed ideals of $A_{\omega}(\bbt)$ for a family of weight.
In the second part, we are interested in closed subset of $\bbt$ which are (or not) sets of uniqueness for $\dsp A_{\omega}^{+}(\bbt) = \Big\{ f \in A_{\omega}(\bbt): \, \widehat{f}(n) = 0 \quad (n < 0) \Big\}$, where $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ is a sequence of non-negative real numbers. A closed subset $E$ of $\bbt$ is said to be a set of uniqueness for $X$, a space of continuous functions on $\bbt$, if the zero function is the only function in $X$ that vanishes on $X$. More precesely, we study the link between the fact that a closed subset of $\bbt$ satisfies a given geometric condition, and the fact that it is or not a set of uniqueness for $A_{\omega}^{+}(\bbt)$.
$$
A_{\omega}(\bbt) = \Big\{ f \textrm{ continuous on } \bbt : \, \big\| f \big\|_{\omega} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} | \widehat{f}(n) | \omega(n) < +\infty \Big\},
$$
where $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ is a sequence of non-negative real numbers, and $\widehat{f}(n)$ denotes the $\textrm{n}^{\textrm{th}}$ Fourier coefficient of $f$. When $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ is a weight, $\big( A_{\omega}(\bbt), \| \, \|_{\omega} \big)$ is a Banach algebra. We obtain the characterisation of some closed ideals of $A_{\omega}(\bbt)$ for a family of weight.
In the second part, we are interested in closed subset of $\bbt$ which are (or not) sets of uniqueness for $\dsp A_{\omega}^{+}(\bbt) = \Big\{ f \in A_{\omega}(\bbt): \, \widehat{f}(n) = 0 \quad (n < 0) \Big\}$, where $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ is a sequence of non-negative real numbers. A closed subset $E$ of $\bbt$ is said to be a set of uniqueness for $X$, a space of continuous functions on $\bbt$, if the zero function is the only function in $X$ that vanishes on $X$. More precesely, we study the link between the fact that a closed subset of $\bbt$ satisfies a given geometric condition, and the fact that it is or not a set of uniqueness for $A_{\omega}^{+}(\bbt)$.
Dans la première partie, nous nous intéressons à des opérateurs dont le spectre est inclus dans le cercle unité $\bbt$. Nous obtenons des résultats concernant certaines propriétés de croissance des normes $\| T^{-n} \| \, (n \geq 0)$ pour des opérateurs $T$ dont le spectre est dénombrable ou vérifie certaines conditions géométriques. Pour obtenir ces résultats, nous sommes amenés à travailler dans les espaces de fonctions
$$
A_{\omega}(\bbt) = \Big\{ f \textrm{ continue sur } \bbt : \, \big\| f \big\|_{\omega} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} | \widehat{f}(n) | \omega(n) < +\infty \Big\},
$$
où $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ est une suite de réels strictement positifs, et $\widehat{f}(n)$ désigne le $\textrm{n}^{\textrm{ième}}$ coefficient de Fourier de $f$. Lorsque la suite $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ est un poids, $\big( A_{\omega}(\bbt), \| \, \|_{\omega} \big)$ est une algèbre de Banach. Nous obtenons alors la caractérisation de certains idéaux fermés de $A_{\omega}(\bbt)$ pour une famille de poids.
Dans la seconde partie, nous nous intéressons à des fermés de $\bbt$ qui sont (ou non) des ensembles d'unicité pour des espaces $\dsp A_{\omega}^{+}(\bbt) = \Big\{ f \in A_{\omega}(\bbt): \, \widehat{f}(n) = 0 \quad (n < 0) \Big\}$, où $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ est une suite de réels strictement positifs. Un fermé $E$ de $\bbt$ étant d'unicité pour un espace $X $ de fonctions continues sur $\bbt$, si la seule fonction dans $X$ s'annulant sur $E$ est la fonction nulle. Plus précisément, nous étudions le lien qu'il y a entre le fait qu'un fermé de $\bbt$ satisfait une condition géométrique donnée et le fait qu'il soit ou non un ensemble d'unicité pour $A_{\omega}^{+}(\bbt)$.
$$
A_{\omega}(\bbt) = \Big\{ f \textrm{ continue sur } \bbt : \, \big\| f \big\|_{\omega} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} | \widehat{f}(n) | \omega(n) < +\infty \Big\},
$$
où $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ est une suite de réels strictement positifs, et $\widehat{f}(n)$ désigne le $\textrm{n}^{\textrm{ième}}$ coefficient de Fourier de $f$. Lorsque la suite $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ est un poids, $\big( A_{\omega}(\bbt), \| \, \|_{\omega} \big)$ est une algèbre de Banach. Nous obtenons alors la caractérisation de certains idéaux fermés de $A_{\omega}(\bbt)$ pour une famille de poids.
Dans la seconde partie, nous nous intéressons à des fermés de $\bbt$ qui sont (ou non) des ensembles d'unicité pour des espaces $\dsp A_{\omega}^{+}(\bbt) = \Big\{ f \in A_{\omega}(\bbt): \, \widehat{f}(n) = 0 \quad (n < 0) \Big\}$, où $\omega = \big( \omega(n) \big)_{n \in \bbz}$ est une suite de réels strictement positifs. Un fermé $E$ de $\bbt$ étant d'unicité pour un espace $X $ de fonctions continues sur $\bbt$, si la seule fonction dans $X$ s'annulant sur $E$ est la fonction nulle. Plus précisément, nous étudions le lien qu'il y a entre le fait qu'un fermé de $\bbt$ satisfait une condition géométrique donnée et le fait qu'il soit ou non un ensemble d'unicité pour $A_{\omega}^{+}(\bbt)$.
Domaines
Mathématiques [math]
Fichier principal
RESUMES.PDF (46.59 Ko)
Télécharger le fichier
THESE.PDF (524.88 Ko)
Télécharger le fichier
couverture.pdf (36.04 Ko)
Télécharger le fichier
remerciements.pdf (15.49 Ko)
Télécharger le fichier