Inverse spectral problems for singular AKNS and Schrödinger operators on [0,1]

Problèmes spectraux inverses pour des opérateurs AKNS et de Schrödinger singuliers sur [0,1]

Frédéric Serier (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

Two operators are studied in this thesis: the radial Schrödinger operator, extracted from the non-relativistic quantum mechanic, and the singular AKNS system, adaptation of the radial Dirac equation coming from relativistic quantum mechanic. In the first part, the direct spectral problem is solved for each equation: we obtain eigenvalues, eigenfunctions and their properties about potentials. Limitations caused by the explicit singularity are pointed out: problems risen by Bessel functions appear inside straightforward calculations for asymptotics and estimations. The second part deals with the resolution of these inverse spectral problems. Thanks to the transformation operators, we avoid difficulties created by the singularity. They help us to develop an inverse spectral theory for the singular operators considered. Precisely, we construct a spectral map adapted to study the inverse spectral problem's stability and isospectral sets study. Moreover, a one-to-one result is deduced for singular AKNS and Dirac operators with more regular potentials.

Deux opérateurs sont étudiés dans cette thèse: l'opérateur de Schrödinger radial, issu de la mécanique quantique non relativiste; puis le système AKNS singulier, adaptation de l'opérateur de Dirac radial provenant de la mécanique quantique relativiste. La première partie consiste en la résolution du problème direct associé à chacun des deux opérateurs: détermination des valeurs et vecteurs propres, ainsi que leur dépendance vis à vis des potentiels. La présence de fonctions de Bessel due à la singularité explicite induit des difficultés lors de la détermination d'asymptotiques. La seconde partie porte sur la résolution de ces problèmes spectraux inverses. À l'aide d'opérateurs de transformations nous évitons les difficultés induites par la singularité. Ils nous permettent de développer une théorie spectrale inverse pour les opérateurs singuliers considérés. Précisément, nous construisons une application spectrale bien adapté à l'étude de la stabilité du problème inverse ainsi qu'à l'étude des ensembles isospectraux. Un résultat d'injectivité est aussi obtenu pour les opérateurs AKNS et de Dirac singuliers avec potentiels réguliers.

Mots clés: Inverse spectral problem; radial Schrödinger; singular AKNS; radial Dirac; Bessel functions; transformation operator; isospectral sets.

Mots clés: ensemble isospectral; Problèmes spectraux inverses; Schrödinger radial; AKNS singulier; Dirac radial; fonctions de Bessel; opérateur de transformation; ensemble isospectral.

Domaines: Mathématiques [math]

Frédéric Serier. Problèmes spectraux inverses pour des opérateurs AKNS et de Schrödinger singuliers sur [0,1]. Mathématiques [math]. Université de Nantes, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00009719⟩