Equation de Schrödinger non-linéaire et impuretés dans les systèmes intégrables - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

Nonlinear Schrödinger equation and impurities in integrable systems

Equation de Schrödinger non-linéaire et impuretés dans les systèmes intégrables

Résumé

This thesis deals with the area of theoretical physics known as integrable systems, combining fruitfully physics and mathematics, and is characterized by the possibility of computing exact results (i.e. non perturbative) which serve as a basis for physical predictions.
In this context, the nonlinear Schrödinger equation (in 1+1 dimensions) is a system of special interest. It models various phenomena, being classical (nonlinear optics, fluid mechanics...) as well as quantum (ultra cold gases, Bose-Einstein condensation...). It also contributed to the development of certain techniques to solve integrable systems: inverse scattering method, Bethe ansatz, identifying and using symmetries (quantum groups, Yangians). By using this system both as a testing and a predictive model, my work is devoted essentially to the following two issues:
- Including bosonic and fermionic degrees of freedom.
- Including a boundary or an impurity.
At first, I studied a "supersymmetric" version of this equation for which I established the validity of all the results known for the original scalar version: integrability, symmetry, explicit solution at the classical and quantum levels. The issue of including a boundary has been treated from another point of view. The idea is to start from the characteristic symmetry algebra for integrable systems with boundaries, the reflection algebra, and to construct a general integrable Hamiltonian whose symmetry structure is precisely the reflection algebra. As a particular case of this Hamiltonian, I recovered the nonlinear Schrödinger Hamiltonian in the presence of a boundary. Another particular case is the Sutherland Hamiltonian with boundary for which the symmetry algebra was not known.
The problem of including an impurity in an integrable system represents an important part of my work. I could show that it is possible to preserve integrability for an interacting system while including a transmitting and reflecting defect (an impurity) thanks to a new algebraic structure, the Reflection-Transmission algebra, applied to the nonlinear Schrödinger equation. This allows to compute explicitly the form of the field, the scattering matrix elements, the N-point correlation functions and to identify the symmetry of the problem.
Following this work, the exact equations controlling the energy spectrum of a gas of particles with contact interaction and in the presence of a four parameter tunable impurity were established. These results pave the way to applications in condensed matter physics.
Cette thèse s'inscrit dans le domaine de physique théorique appelé systèmes intégrables, qui mêle fructueusement physique et mathématiques et se caractérise par la possibilité d'obtenir des résultats exacts (i.e. non perturbatifs) guidant les prédictions physiques qui en découlent.
Dans ce contexte, l'équation de Schrödinger non-linéaire (à 1+1 dimensions) est un système privilégié. On la retrouve comme modèle de phénomènes variés tant classiques (optique non-linéaire, mécanique des fluides...) que quantiques (gaz ultra-froids, condensation de Bose-Einstein...). En outre, elle a contribué à la mise au point de techniques de résolution des systèmes intégrables : méthode de diffusion inverse, ansatz de Bethe, identification et utilisation de symétries (groupes quantiques, Yangiens). En utilisant ce système à la fois comme support de test et comme modèle de prédiction, mon travail de thèse tourne autour de deux points principaux :
- Inclusion de degrés de liberté bosoniques et fermioniques.
- Inclusion d'un bord ou d'une impureté.
Dans un premier temps, j'ai étudié une version « supersymétrique » de cette équation pour laquelle j'ai montré la validité de tous les résultats d'intégrabilité, de symétrie et de résolution explicite classiques et quantiques connus pour la version scalaire originelle. La question de l'inclusion d'un bord a été traitée d'un autre point de vue. L'idée est de partir d'une algèbre de symétrie caractéristique des systèmes intégrables avec bord, l'algèbre de réflexion, et de construire un Hamiltonien général intégrable et possédant cette algèbre comme structure de symétrie. Un cas particulier de l'Hamiltonien intégrable obtenu n'est autre que l'Hamiltonien de Schrödinger non-linéaire en présence d'un bord. Un autre cas particulier est l'Hamiltonien de Sutherland en présence d'un bord pour lequel la symétrie n'était pas connue.
Le problème de l'inclusion d'une impureté dans un système intégrable a constitué la plus grosse partie de mon travail. J'ai pu montrer qu'il est possible de préserver l'intégrabilité d'un système avec interaction lorsqu'on introduit un défaut qui transmet et réfléchit (une impureté) grâce à une nouvelle structure algébrique, l'algèbre de Réflexion-Transmission, appliquée à l'équation de Schrödinger non-linéaire. Cela permet de trouver la forme explicite du champ, de calculer de façon exacte les éléments de la matrice de diffusion et les fonctions de corrélation à N points et d'identifier la symétrie du problème.
Suite à ce travail, les équations exactes qui régissent le spectre d'énergie d'un gaz de particules en interaction de contact et en présence d'une impureté contrôlée par quatre paramètres ont été établies. Ces résultats ouvrent des perspectives d'applications en physique de la matière condensée.
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Dates et versions

tel-00009612 , version 1 (27-06-2005)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00009612 , version 1

Citer

Vincent Caudrelier. Equation de Schrödinger non-linéaire et impuretés dans les systèmes intégrables. Physique mathématique [math-ph]. Université de Savoie, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00009612⟩
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