Properties of the polyhedral billiard
Etude du billard polyédral
Résumé
In this work, we study polyhedral billiard. We code the orbit of a point, with a letter by face. Then we study two sorts of problems: The complexity function of the billiard words, and the existence of periodic orbits. We show that the complexity function is related to the notion of generalized diagonal: A generalized diagonal is a billiard trajectory between two edges of the polyhedron. We show, first, a new proof of the computation of the complexity of a rotation of the torus $\mathbb(T)^2$. This proof allows us, to obtain estimates for the complexity in some right prisms. Then we search for bounds of the global complexity in the case of the cube. Then we prove that the billiard in any convex polyhedron is of zero topological entropy. Then we study the periodic orbits. We find a sufficiant condition for the existence of stable periodic words, and we obtain periodic trajectories of length four in a tetrahedron. Then we obtain ergodicity and estimate for the complexity of a subclass of rectangle exchanges. This is related to the billiard map, since they represent the first return map to a transverse set.
Dans cette thèse, on s'intéresse au billard dans un polyèdre. On étudie cette application, en codant les orbites sur un alphabet fini. On étudie alors deux problèmes: la complexité des mots infinis obtenus, et l'existence de trajectoires périodiques. On montre que la complexité est reliée à la notion de diagonale généralisée : une diagonale généralisée est une trajectoire de billard, qui part d'une arête et qui arrive à une arête. On obtient alors, au premier chapitre, une nouvelle preuve du calcul de la complexité d'une rotation du tore $\mathbb(T)^2$, totalement irrationnelle. Cette preuve permet de plus, d'obtenir une estimation de la complexité directionnelle du billard dans certains prismes droits. Au deuxième chapitre, on obtient, grâce aux diagonales généralisées, une estimation de la complexité globale du billard cubique. On donne alors au chapitre trois une estimation valable dans n'importe quel polyèdre convexe: On montre en fait que le billard est d'entropie topologique nulle. Le chapitre quatre traite alors du problème des orbites périodiques. On donne une condition suffisante, pour qu'un mot soit stable. On montre de plus l'existence d'une trajectoire périodique dans le tétraèdre régulier. Pour finir on s'intéresse, dans le chapitre cinq, à une sous classe d'échange de rectangles. On montre que ces applications sont ergodiques, et de complexité quadratique. Ces applications sont reliées au billard puisque, à direction fixée, l'application de premier retour est une application affine par morceaux.