Nonlinear and arithmetical study of system synchonization : application to low frequency fluctuations of ultrastable oscillators
Etude non linéaire et arithmétique de la synchronisation des systèmes : application aux fluctuations de basse fréquence des oscillateurs ultra-stables
Abstract
We study the nonlinear behavior of electronical systems such as oscillators or phase locked loops (PLL). After a brief sum-up of the existence of oscillator intrinsic nonlinearities, we recall
classical statistical methods of signal processing and phase noise measurement. We adapt new modern tools of nonlinear signal processing (Poincaré sections, phase space, Arnold mapping,
arithmetic) on the Van der Pol model of oscillator. This model (Adler's model) allow us to study the PLL under nonlinear behavior in which multiscale properties of synchronization and high
transient time are identified. The experimental study is realized from the nonlinear synchronization of two ultrastable radiofrequency oscillators (5 MHz) perturbed with white frequency noise and periodic perturbations due to the modulator. A white frequency noise to l/f frequency noise (flicker noise) transformation is observed when the system exhibits a high nonlinear behavior; results confirmed by numerical integration (Runge-Kutta) .The experimental verification of multiscale properties exhibits a diophantine property of the intermodulation spectrum due to the arithmetical rules governing the frequencies. This arithmetical approach is again verified with a carrier-envelope experiment where a carrier (97 MHz) is modulated from the detection of an acoustic response (300 kHz) of a surface acoustic wave delay line. The same nonlinear properties
(chaos, synchronization, devil staircase, scale invariance) of the system are identified.
classical statistical methods of signal processing and phase noise measurement. We adapt new modern tools of nonlinear signal processing (Poincaré sections, phase space, Arnold mapping,
arithmetic) on the Van der Pol model of oscillator. This model (Adler's model) allow us to study the PLL under nonlinear behavior in which multiscale properties of synchronization and high
transient time are identified. The experimental study is realized from the nonlinear synchronization of two ultrastable radiofrequency oscillators (5 MHz) perturbed with white frequency noise and periodic perturbations due to the modulator. A white frequency noise to l/f frequency noise (flicker noise) transformation is observed when the system exhibits a high nonlinear behavior; results confirmed by numerical integration (Runge-Kutta) .The experimental verification of multiscale properties exhibits a diophantine property of the intermodulation spectrum due to the arithmetical rules governing the frequencies. This arithmetical approach is again verified with a carrier-envelope experiment where a carrier (97 MHz) is modulated from the detection of an acoustic response (300 kHz) of a surface acoustic wave delay line. The same nonlinear properties
(chaos, synchronization, devil staircase, scale invariance) of the system are identified.
Nous traitons l'analyse du comportement non linéaire de systèmes électroniques tels que
l'oscillateur ou la boucle à verrouillage de phase (PLL). Après un rappel de l'existence intrinsèque des non-linéarités de l'oscillateur, nous exposons les méthodes statistiques classiques de traitement du signal non linéaire (sections de Poincaré, espace des phases, mapping d'Arnold, arithmétique des résonances) sur le modèle de l'oscillateur de Van der Pol. Ce modèle (modèle
d'Adler ) permet l'étude de la PLL en régime non linéaire sur laquelle nous identifions des comportements multi-échelles de synchronisation et de régime transitoire à grande constantes de temps.
L'étude expérimentale est réalisée à partir de l'asservissement non linéaire de deux oscillateurs ultra-stables radiofréquence de 5 MHz en présence de bruit blanc de fréquence et d'une perturbation périodique issue du modulateur. Une transformation du bruit blanc en bruit en l/f (bruit flicker ou de scintillation) a lieu lorsque le système évolue dans un régime très non linéaire; résultats confirmés par intégrations numériques (Runge-Kutta). La vérification expérimentale des propriétés multi-échelles révèle une structure diophantienne du spectre d'intermodulation issue
des propriétés arithmétiques des fréquences. Cette approche arithmétique est également validée dans une expérience de résonance porteuse-enveloppe où l'on module une porteuse (97 MHz)
à partir de la détection de la réponse acoustique (300 kHz) d'une ligne à ondes de surface à ondes acousiques de surface (SAW). Les mèmes propriétés non linéaires (chaos, synchronisation,
escalier du diable, invariance d'échelle) du système sont identifiées.
l'oscillateur ou la boucle à verrouillage de phase (PLL). Après un rappel de l'existence intrinsèque des non-linéarités de l'oscillateur, nous exposons les méthodes statistiques classiques de traitement du signal non linéaire (sections de Poincaré, espace des phases, mapping d'Arnold, arithmétique des résonances) sur le modèle de l'oscillateur de Van der Pol. Ce modèle (modèle
d'Adler ) permet l'étude de la PLL en régime non linéaire sur laquelle nous identifions des comportements multi-échelles de synchronisation et de régime transitoire à grande constantes de temps.
L'étude expérimentale est réalisée à partir de l'asservissement non linéaire de deux oscillateurs ultra-stables radiofréquence de 5 MHz en présence de bruit blanc de fréquence et d'une perturbation périodique issue du modulateur. Une transformation du bruit blanc en bruit en l/f (bruit flicker ou de scintillation) a lieu lorsque le système évolue dans un régime très non linéaire; résultats confirmés par intégrations numériques (Runge-Kutta). La vérification expérimentale des propriétés multi-échelles révèle une structure diophantienne du spectre d'intermodulation issue
des propriétés arithmétiques des fréquences. Cette approche arithmétique est également validée dans une expérience de résonance porteuse-enveloppe où l'on module une porteuse (97 MHz)
à partir de la détection de la réponse acoustique (300 kHz) d'une ligne à ondes de surface à ondes acousiques de surface (SAW). Les mèmes propriétés non linéaires (chaos, synchronisation,
escalier du diable, invariance d'échelle) du système sont identifiées.