, La méthode numérique utilisée pour la validation des estimations d'erreur théoriques

, Technique de calcul numérique pour le problème de raccord 1D-2D, (avec h >> ?)

. .. Le-problème-continu,

D. .. Dans-le-cadre-de-la-thérorie-de-galerkin, , p.92

.. .. Une-mise-en-oeuvre-numérique,

L. .. Ansatz,

. Raccord-entre-le-champ-proche and . .. Le-champ-de-fente, 167 10.3.1 Développement du champ procheà l'infini dans la fente

. .. Résultats, 11.2.2 Caractère bien posé par extraction de la singularité, 193 11.2 Les problèmes de Helmholtz dans ? singulier

. .. Les-problèmes-de-laplace-en-domaine-non-borné, 202 11.3.1 Identification d'un problème modèle

. Résumé, Ce chapitre intermédiaireétudie les problèmesélémentaires qui sontà la base des théorèmes d'existence et d'unicité du chapitre 9 (problème de Helmholtz avec singularité ponctuelle dans la section 11.2 et problème de Laplace inhomogène en domaine non borné a la section 11.3). Les preuves s'appuient notamment sur des techniques de séparation de variables déjà abordées au chapitre 10 mais présentées de façon rigoureuseà la section 11, p.12

. .. Principes-eténoncés, 217 12.1.1 Estimation d'erreur globale : définition et estimation

E. .. De, 222 12.2.2 L'erreur de raccord entre champ de fente et champ proche, p.226
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/medihal-01463868

. .. Preuve-de-l'estimation-d'erreur-globale, 229 12.3.1 Obtention de l'estimation

. Résumé, A la section 12.1, nous montrons que ces résultats sont en fait des corollaires d'une estimation d'erreur globale, qui sera démontréeà la section 12.3. La preuve de l'estimation d'erreur globale adopte une structure classique consistantà combiner des résultats de consistance (lemme 12.15)à des résultats de stabilité (lemme 12.14), voir section 12.3. Le résultat de stabilité est une modification légère de celui obtenu au chapitre 5 pour les ? modèles tandis que le résultat de consistance repose sur une estimation des erreurs de raccord, objet de la section 12.2, dans les zones intermédiaires champ proche-champ lointain de longueur ? H (?), champ proche-champ de fente (de longueur ? S (?)). Nous pourrons ici se référer aux lemmes 12, Nous commençons parénoncer les principaux résultats de l'étude, a savoir les estimations d'erreur (optimales) obtenues en tronquant les développements asymptotiques du chapitre 9

, nous avons introduit et validé un nouveau modèle de couplage 1D-2D pour le traitement des fentes minces. C'està notre connaissance (au moins du point de vue des estimations globales), la première validation d'un modèle de ce type

, Nous en avons fait un exposé qui nous semble plusà même d'être compris par l'école française que les présentations de l'école russe ou anglosaxonne. Ainsi, nous avons obtenu les développements asymptotiques de la solution exacte (justifié par les preuves de convergence, ce qui n'aété que très rarement effectué pour leséquations de Helmholtz), Dans la deuxième partie, toujours dans le cadre des fentes minces, nous avons revisité la méthode de raccordement de développements asymptotiques

, Dans la troisième partie, nous nous sommes intéressésà un phénomène de résonance déjà connu des ingénieurs. Nous en avons trouvé une explication mathématique qui permet de bien comprendre la nature du phénomèneà partir deséquations

, Ce travail devrait conduire aux publications suivantes

S. Tordeux and P. Joly, Asymptotic Analysis of an Approximate Model for Time Harmonic Waves in Media With Thin Slots, SIAM journal of mathematical analysis (accepté), 2005.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00527590

S. Tordeux, Un Problème de Laplace Non Standard en Milieu Non Borné

M. Clausel, M. Duruflé, P. Joly, and S. Tordeux, A Mathematical Analysis of the Resonance of the Finite Thin Slots, 2005 (soumis) Deux autres articles devraientêtreécrits avec P. Joly sur la deuxième partie

, Confrontationà la bibliographie existante

, nous avons eu le souci constant de rendre le document indépendant de toute autre source. Nous désirons maintenant revenir sur quelques travaux effectués par d'autre? equipes auxquels on pourra s

, Nous avons essayé lors de cette thèse d'effectuer une nouvelle présentation de la technique de la méthode des développements asymptotiques raccordés. Cette présentation aété adaptée des techniques développées par l'école russe, Les développements asymptotiques raccordés

, pourra se référerà des techniques plus anciennes provenant de l'école anglo-saxonne (c.f

T. Abboud and F. Starling, Scattering of an electromagnetic wave by a screen, Boundary Value Problems and Integral Equations in Nonsmooth Domains (Luminy, 1993), vol.167, pp.1-17, 1995.

, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1992.

C. Amrouche, The Neumann problem in the half-space, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math, vol.335, issue.2, pp.151-156, 2002.

C. Amrouche and . Ne?asová, Laplace equation in the half-space with a nonhomogeneous Dirichlet boundary condition, Proceedings of Partial Differential Equations and Applications, vol.126, pp.265-274, 1999.

X. Antoine, H. Barucq, and L. Vernhet, Approximate numerical solution of the acoustic scattering by a penetrable object using impedance boundary conditions, Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, pp.709-713, 2000.

X. Antoine, H. Barucq, and L. Vernhet, Approximate solution of a time-harmonic scattering problem by a penetrable obstacle, Actes des VIè mes Journées Zaragoza

, Mathématiques Appliquées et de Statistiques (Jaca, pp.85-92, 1999.

M. Artola and M. Cessenat, Diffraction d'une ondeélectromagnétique par une couche composite mince accoléeà un corps conducteurépais. I. Cas des inclusions fortement conductrices, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math, vol.313, issue.5, pp.231-236, 1991.

F. Assous, P. Ciarlet, and J. Segré, Numerical solution to the time-dependent Maxwell equations in two-dimensional singular domains : the singular complement method, J. Comput. Phys, vol.161, issue.1, pp.218-249, 2000.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01010725

J. T. Beale, Scattering frequencies of reasonators, Comm. Pure Appl. Math, vol.26, pp.549-563, 1973.

A. Bendali and K. Lemrabet, The effect of a thin coating on the scattering of a time-harmonic wave for the Helmholtz equation, SIAM J. Appl. Math, vol.56, issue.6, pp.1664-1693, 1996.

A. Bensoussan, J. L. Lions, and G. Papanicolaou, Asymptotic Analysis for Periodic Structures, Studies in Mathematics and its Applications, vol.5, 1978.

J. P. Bérenger, A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, Journal of Comp. Physics, 1994.

C. Bernardi, Y. Maday, and F. Rapetti, Discrétisations Variationnelles de Problèmes aux Limites Elliptiques, vol.45

. Springer-verlag, , 2004.

D. Bouche and F. Molinet, Méthodes Asymptotiques en Electromagnétisme, vol.16

. Springer-verlag, , 1994.

T. Z. Boulmezaoud, Espaces de sobolev avec poids pour l'équation de laplace dans le demiespace, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math, vol.73, issue.1, pp.221-226, 1999.

A. Buffa and S. H. Christiansen, The electric field integral equation on Lipschitz screens : definitions and numerical approximation, Numer. Math, vol.94, issue.2, pp.229-267, 2003.

C. M. Butler and D. R. Wilton, General analysis of narrow strips and slots, IEEE Trans Ant. and Propag, vol.28, issue.1, 1980.

G. Caloz, M. Costabel, M. Dauge, and G. Vial, Asymptotic expansion of the solution of an interface problem in a polygonal domain with thin layer, vol.43, 2004.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00001555

P. G. Ciarlet, Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures, Recherches en Mathématiques Appliquées, vol.14

P. Masson, An asymptotic analysis, 1990.

G. Cohen and M. Duruflé, Mixed spectral elements for the helmholtz equation, Proceedings of the Sixth International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, pp.743-748, 2003.

F. Collino, T. Fouquet, and P. Joly, A conservative space-time mesh refinement method for the 1-D wave equation. I. Construction, Numer. Math, vol.95, issue.2, pp.197-221, 2003.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00989055

F. Collino, T. Fouquet, and P. Joly, A conservative space-time mesh refinement method for the 1-D wave equation. II, Analysis. Numer. Math, vol.95, issue.2, pp.223-251, 2003.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00989055

F. Collino and F. Millot, Fils et méthodes d'éléments finis pour leséquations de Maxwell. Le modèle de Holland revisité, 1998.

F. Collino and C. Tsogka, Application of the PML absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heteregeneous media, Geophysics, vol.66, pp.294-307, 2001.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00073219

D. L. Colton and R. Kress, Integral equation methods in scattering theory, Pure and Applied Mathematics, 1983.

C. Conca and E. Zuazua, Asymptotic analysis of a multidimensional vibrating structure, SIAM J. Math. Anal, vol.25, issue.3, pp.836-858, 1994.

D. G. Crighton, A. P. Dowling, J. E. Ffowks-williams, M. Heckl, and F. G. Leppington, Modern Methods in Analytical acoustics, Lecture Notes, 1992.

R. Dautray and J. L. Lions, Analyse Mathématique et Calcul Numérique pour les Sciences et les Techniques. Tome 3. Masson, 1985.

R. Dautray and J. L. Lions, Evolution problems. I, With the collaboration of Michel Artola, Michel Cessenat and Hélène Lanchon, vol.5, 1992.

J. Diaz, Approches Analytiques et Numériques de Problèmes de Transmission en Propagation d'Ondes en Régime Transitoire, Application au Couplage Fluide-Structure et aux Méthodes de Couches Parfaitement Adaptées Couches Absorbantes Parfaitement Adaptées, 2005.

J. Diaz and P. Joly, Stabilized perfectly matched layer for advective acoustics, Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, pp.115-119, 2003.

D. Drissi, Simulation des Silencieux d'Echappement par une Méthode D'éléments Finis Homogénéisée, 2003.

B. Engquist and J. C. Nédélec, Effective boundary conditions for acoustic and electromagnetic scattering in thin layers, Ecole Polytechnique CMAP, 1993.

A. Ezziani, Modélisation Mathématique et Numérique de la Propagation d'Ondes dans les Milieux Viscoélastiques et Poroélastiques. Doctorat, Université Paris 9, 2005.

S. Fauqueux, Eléments Finis mixtes Spectraux et Couches Absorbantes Parfaitement Adaptées pour la Propagation d'Ondes Elastiques en Régime Transitoire, 2003.

J. Gilbert and R. Holland, Implementation of the thin-slot formalism in the finite-difference code threedii, IEEE Trans Nuc Science, vol.28, issue.6, pp.4269-4274, 1981.

J. Giroire, Etude de Quelques Problèmes aux Limites Extérieurs et Résolution par Equations Intégrales, 1987.

D. Givoli, I. Patlashenko, and J. B. Keller, Discrete Dirichlet-to-Neumann maps for unbounded domains, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, vol.164, issue.1-2, pp.173-185, 1997.
DOI : 10.1016/s0045-7825(98)00053-x

P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Monographs and Studies in Mathematics, vol.24, 1985.
DOI : 10.1137/1.9781611972030

P. Grisvard, Singularities in Boundary Value Problems, Recherches en Mathématiques Appliquées, vol.22

P. Masson, , 1992.

M. J. Grote, Non-reflecting boundary conditions for electromagnetic scattering, Int. J. Num. Model, vol.13, issue.5, pp.397-416, 2000.
DOI : 10.1002/1099-1204(200009/10)13:5<397::aid-jnm374>3.0.co;2-5

M. J. Grote and J. B. Keller, Nonreflecting boundary conditions for time-dependent scattering, J. Comput. Phys, vol.127, issue.1, pp.52-65, 1996.

M. J. Grote and J. B. Keller, Nonreflecting boundary conditions for Maxwell's equations, J. Comput. Phys, vol.139, issue.2, pp.327-342, 1998.
DOI : 10.1006/jcph.1997.5881

D. C. Guiney, B. J. Noye, and E. O. Tuck, Transmission of water waves through small apertures, J. Fluid Mech, vol.55, issue.1, pp.149-161, 1972.

H. Haddar, P. Joly, and H. Nguyen, Generalized impedance boundary conditions for scattering by strongly absorbing obstacles : The scalar case, vol.35, 2003.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00743895

T. Hagstrom and I. Nazarov, Absorbing layers and radiation boundary conditions for jet flow simulations, Proc. of the 8th AIAA/CEAS aeroacoustics conference, 2002.

I. Harari, I. Patlashenko, and D. Givoli, Dirichlet-to-Neumann maps for unbounded wave guides, J. Comput. Phys, vol.143, issue.1, pp.200-223, 1998.
DOI : 10.1006/jcph.1998.5960

P. Harrington and D. Auckland, Electromagnetic transmission through narrow slots in thick conducting screens, IEEE Trans Antenna Propagation, vol.28, issue.5, pp.616-622, 1980.
DOI : 10.1109/tap.1980.1142382

R. Holland and L. Simpson, Finite-difference analysis EMP coupling to thin struts and wires, IEEE Trans. Electromagn. Compat, vol.23, issue.2, 1981.
DOI : 10.1109/temc.1981.303899

F. Q. Hu, A stable, perfectly matched layer for linearized Euler equations in unsplit physical variables, J. Comput. Phys, vol.173, pp.455-480, 2001.

A. , Il in. Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems, Translations of Mathematical Monographs, vol.102, 1992.

J. D. Jackson, Classical electrodynamics, 1975.

P. Joly, Analyse numérique et mathématique de quelques modèles de propagation d'ondes acoustiquesélastiques etélectromagnétiques, INRIA, 1987.

P. Joly and S. Tordeux, Modèles asymptotiques pour la propagation des ondes dans les milieux comportant des fentes, Rapport inria, INRIA, 2003.

P. Joly and S. Tordeux, An asymptotic analysis of time harmonic waves in media with thin slots, SIAM Journal on Mathematical Analysis
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00527590

J. B. Keller and D. Givoli, Exact nonreflecting boundary conditions, J. Comput. Phys, vol.82, issue.1, pp.172-192, 1989.

G. A. Kriegsmann, The flanged waveguide antenna : discrete reciprocity and conservation, Wave Motion, vol.29, issue.1, pp.81-95, 1999.

O. Lafitte, Diffraction for a Neumann boundary condition, Comm. Partial Differential Equations, vol.22, issue.3-4, pp.555-580, 1997.

O. Lafitte and G. Lebeau, Équations de Maxwell et opérateur d'impédance sur le bord d'un obstacle convexe absorbant, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math, vol.316, issue.11, pp.1177-1182, 1993.

H. and L. Dret, Problèmes Variationnels dans les Multi-domaines, Recherches en Mathématiques Appliquées, vol.19

P. Masson, Modélisation des jonctions et applications, 1991.

M. N. Le-roux, Résolution Numérique du Problème de Potentiel dans le Plan par une Méthode Variationnelle d'Eléments finis, 1974.

M. N. Le-roux, Méthode d'éléments finis pour la résolution numérique de problèmes extérieurs en dimension 2, RAIRO Anal. Numér, vol.11, issue.1, pp.27-60, 1977.

N. N. Lebedev, Special Functions and their Applications, 1965.

M. Lenoir and A. Tounsi, The localized finite element method and its application to the two-dimensional sea-keeping problem, SIAM J. Numer. Anal, vol.25, issue.4, pp.729-752, 1988.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00974512

J. L. Lions and E. Magenes, Non-homogeneous Boundary Value Problems and Applications, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol.I, p.181, 1972.

P. L. and -. Liu, Scattering of water waves by a pair of semi-infinite barriers, ASME, vol.75, pp.777-779, 1975.

D. Martin, Documentation de la librairie elements finis melina, pp.1996-2003

V. G. Maz&apos;ya, S. A. Nazarov, and B. A. Plamenevskii, Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten I. Mathematische Monographien, vol.82, 1991.

V. G. Maz&apos;ya, S. A. Nazarov, and B. A. Plamenevskii, Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten II, Mathematische Monographien, vol.83, 1991.

P. Mciver and A. D. Rawlins, Two-dimensional wave-scattering problems involving parallelwalled ducts, Quart. J. Mech. Appl. Math, vol.46, issue.1, pp.89-116, 1993.

J. C. Nédélec, Approximation des Equations Intégrales en Mécanique et en Physique. Ecole Polytechnique, 1977.

J. C. Nédélec, Acoustic and Electromagnetic Equations, Applied Mathematical Sciences, vol.144, 2001.

B. Noble, Methods based on the Wiener-Hopf technique for the solution of partial differential equations, International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics, vol.7, 1958.

O. A. Oleinik, A. S. Shamaev, and G. A. Yosifian, Mathematical Problems in Elasticity and Homogenization. Studies in mathematics and its applications, 1992.

J. Rodríguez, Raffinement de Maillage Spatio-Temporel pour lesÉquations de l'Élastodynamique, 2004.

F. Rogier, Problèmes Mathématiques et Numériques Liésà l'Approximation de la Géométrie d'un Corps Diffractant dans les Equations de l'Electromagnétisme. Doctorat, 1989.

E. Sánchez-palencia, Nonhomogeneous Media and Vibration Theory, vol.127, 1980.

L. Schwartz, Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques. Enseignement des Sciences, 1961.

L. Schwartz, Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg, No. IX-X. Nouvelleédition, entiérement corrigée, refondue et augmentée, 1966.

T. B. Senior and J. L. Volakis, Approximate Boundary Conditions in Electromagnetics, 1995.

A. Taflove, The finite-difference time-domain method, 1995.

A. Taflove, K. Umashankar, and B. Becker, Calculation and experimental validation of induced currents on coupled wires in an arbitrary shaped cavity, IEEE Trans Antenna and Propagation, vol.35, issue.11, pp.1248-1257, 1987.

A. Taflove, K. Umashankar, B. Becker, F. Harfoush, and K. S. Yee, Detailed FDTD analysis of electromagnetic fields penetrating narrow slots ans lapped joints in thick conducting screens, IEEE Trans Antenna and Propagation, vol.36, issue.2, pp.247-257, 1988.

F. Tatout, Propagation d'une Onde Electromagnétique dans une Fente Mince. Propagation et Réflexion d'Ondes en Elasticité, 1996.

S. Tordeux, Méthodes Asymptotiques pour la Propagation des Ondes dans les Milieux Comportant des Fentes, 2004.

S. Tordeux, Un problème de laplace non standard en milieu non borné, C. R. Acad. Sci, 2005.

E. O. Tuck, Matching problems involving flow through small holes, Advances in Applied Mechanics, vol.15, pp.89-158, 1975.

G. Vial, Analyse Multiéchelle et Conditions aux Limites Approchées pour un Problème de Couche Mince dans un Domaineà Coin, 2003.

G. N. Watson, Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge Mathematical Library, 1995.

G. N. Watson, coucou coucou Résumé Cette thèse porte sur la modélisation de la diffraction d'ondes en régime harmonique dans des milieux bidimensionnels comportant des fentes minces. Tout d'abord, nous introduisons et analysons un modèle approché dont la propriété principale est d'utiliser une approximation unidimensionnelle dans la fente. L'originalité de ce modèle se situe au niveau des conditions de couplage par raccord "brutal"à travers les extrémités de la fente. La précision de cette première techniqueétant limitée, nous utilisons la technique des développements asymptotiques raccordés pour obtenir et justifier le développement asymptotique de la solutionà tout ordre en fonction de l'épaisseur de la fente. Les résultats sont radicalement différents suivant que la longueur de la fente est un multiple de la demi-longueur d'onde ou non, Proc. London Math. Soc, pp.150-174, 1916.

, Mots clés : Helmholtz, fentes minces, raccordement de développements asymptotiques, modélisation, estimations d'erreur