. Si, X, d) est un espace de longueur complet et localement compact

. Soit-(-x, ?? X un chemin continu sur X. Considérons une partition P de [a, b], c'est-à-dire une collection finie de points {y 0 , ..., y N } tels que a = y 0 ? y 1 ? ... ? y N = b. Alors, le supremum des sommes N ?1 i=0 d(?(y i ), ?(y i+1 ))

. Soit, espace métrique connexe par arcs, notons R l'ensemble des courbes continues et rectifiables (paramétrées par un intervalle de fermé de R) sur (X, d X ) Le couple (R, L d ) est une structure de longueur sur X. En particulier, la définition d'un espace de longueur donnée dans le chapitre 1

. Cet-Écart-n, est pas exactement une distance (car elle ne vérifie pas l'inégalité triangulaire) mais elle vérifie tout de même l

. Soit, n?N une suite d'espaces de longueur compacts qui converge vers un espace métrique (X, d X )

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