On the holonomy of pseudo-Riemannian manifolds

Sur l'holonomie des variétés pseudo-riemanniennes

Charles Boubel (1)

1 IECN - Institut Élie Cartan de Nancy

The three chapters, quite independent, study the pseudo-Riemannian manifolds (manifolds endowed with a nondegenerate but indefinite metric) the restricted holonomy of which is indecomposable but preserves some totally isotropic subspaces. Chapter 1. A Riemannian metric with parallel Ricci curvature is locally (globally if it is complete and simply connected) a product of Einstein manifolds. This follows from the fact that the metric is positive definite and fails in the pseudo-Riemanian case. However, using in particular the Bianchi identity, clasical properties of the holonomy and a work of Klingenberg on the pairs of symmetric bilinear forms, we show a similar result : the metrics is decomposed into a product of Einstein metrics, <> and metrics with <> (see th. 1 p. 19). Chapter 2. It restates and generalizes Klingenberg's work used in chapter 1. It classifies the pairs of reflexive bilinear forms over some field K, in finite dimension, up to conjugation by the linear group, and gives the structure of the automorphism group of the pair. In the real case, it gives a table of <> for pairs of reflexive forms, see pp. 96-100. Chapter 3. The more significant. It builds, on a certain class of pseudo-Riemannian irreducible metrics, some <> coordinates, in a sense that it gives (th. 1 p. 167). These coordinates are a tool to understand the local geometry of these metrics. In particular, they enable to parametrize the space of germs of Lorentzian metrics corresponding to the four types of possible Lorentzian holonomies given by A. Ikemakhen et L. Bérard Bergery. (see pp. 204--205 et 211).

Les trois chapitres, relativement indépendants, de la thèse étudient des variétés pseudo-riemanniennes (variétés munies d'une métrique non-dégénérée mais non définie) dont l'holonomie restreinte est indécomposable mais stabilise des sous-espaces totalement isotropes. Chapitre 1. Une variété riemanienne de courbure de Ricci parallèle est localement (globalement si elle est complète et simplement connexe) un produit de variétés d'Einstein. Cela résulte de la positivité de la métrique et n'est plus vrai dans le cas pseudo-riemannien. Cependant, en utilisant les propriétés classiques de l'holonomie ainsi qu'un travail de Klingenberg de 1954 sur les paires de formes bilinéaires symétriques le chapitre 1 montre un résultat proche : décomposition en produit de variétés d'Einstein et de deux autres types, <> et < pour les paires de formes réflexives, voir pp.96-100 de la thèse. Chapitre 3. Le plus significatif, il construit, sur une certaine classe de variétés pseudo-riemanniennes réductibles, indécomposables sous l'action de leur holonomie restreinte, des coordonnées privilégiées, <> en un sens qu'il précise (th. 1 p. 167). Ces coordonnées sont un outil pour une première compréhension de la géométrie locale, complexe, de ces variétés. Elles permettent en particulier de paramétrer l'espace des germes de métriques lorentziennes correspondant à chacun des quatre types d'holonomie lorentzienne possibles donnés par A. Ikemakhen et L. Bérard Bergery. (voir pp. 204--205 et 211).

Mots clés: pseudo-Riemannian metrics; Lorentzian metrics; holonomy of pseudo-Riemannian metrics; holonomy of Lorentzian metrics; Ricci curvature; symmetric bilinear forms; alternating bilinear forms; pairs of reflexive bilinear forms; reduced matrices

Mots clés: métriques pseudo-riemanniennes; métriques lorentziennes; holonomie des métriques pseudo-riemanniennes; holonomie des métriques lorentziennes; courbure de Ricci; formes bilinéaires symétriques; formes bilinéaires alternés; formes bilinéaires réflexives; paires de formes bilinéaires réflexives; matrices réduites

Domaines: Mathématiques [math]

Charles Boubel. Sur l'holonomie des variétés pseudo-riemanniennes. Mathématiques [math]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2000. Français. ⟨NNT : 2000NAN10072⟩. ⟨tel-01746449v2⟩