Discretizations associated to a process in a domain and probabilistic numerical schemes for quasilinear parabolic PDEs
Discretisations associees a un processus dans un domaine et schemas numeriques probabilistes pour les EDP paraboliques quasilineaires
Résumé
The work in this thesis concerns the discretization of a process in a domain and probabilistic numerical approximations of quasilinear parabolic PDEs. Regarding the first topic, we first obtained a lower and upper bound for the error associated to a killed hypoelliptic diffusion process approximated by its discretely killed Euler scheme, cf. Chapter 1. Then, in the non Markovian framework of Ito processes, we obtained a bound for the error associated to the discretization of the exit time using original martingale techniques, cf. Chapter 2. Eventually, in the particular case of Brownian motion in an orthant, we obtained an error expansion and an acceleration of convergence method based on a suitable correction of the domain, cf. Chapter 3. Concerning the second topic, we proposed an algorithm easy to implement to approximate the solution of quasilinear parabolic PDEs. We also established a speed of convergence. This method consists in discretizing the Forward Backward Stochastic Differential Equation (FBSDE) that allows to give a probabilistic interpretation of the PDE, cf. Chapter 4.
Les travaux effectués dans ma thèse portent sur la discrétisation de processus dans un domaine et sur les méthodes numériques probabilistes pour les EDP paraboliques quasilinéaires. En ce qui concerne le premier sujet, nous avons d'abord montré un résultat d'encadrement de l'erreur faible associée à un processus de diffusion hypoelliptique tué approché par son schéma d'Euler tué à temps discret, cf. Chapitre 1. Ensuite, dans le cadre non markovien des processus d'Itô, nous avons obtenu une borne pour l'erreur faible associée à la discrétisation du temps de sortie à l'aide de techniques originales de martingales, cf. Chapitre 2. Nous avons enfin, dans le cas particulier du mouvement Brownien dans un orthant, obtenu un développement de l'erreur et une méthode d'accélération de la convergence basée sur une correction adéquate du domaine, cf. Chapitre 3. Par rapport au deuxième sujet, nous avons proposé un algorithme probabiliste simple à implémenter pour approcher la solution d'EDP paraboliques quasilinéaires et nous avons établi sa vitesse de convergence. Cette méthode consiste à discrétiser l'équation différentielle stochastique progressive rétrograde (EDSPR) qui permet de donner une représentation probabiliste de l'EDP, cf. Chapitre 4.