Two studies of a clarinet-like musical instrument : analysis of the eigen frequencies and calculation of the self-sustained oscillations by modal decomposition
Deux études d'un instrument de musique de type clarinette : analyse des fréquences propres du résonateur et calcul des auto-oscillations par décomposition modale
Résumé
Woodwind instruments are self-sustained oscillators resulting from the interaction between a linear resonator and a nonlinear excitator. This thesis is devoted to the study of the natural oscillations (the resonance frequencies and modes) of such systems, from two different points of view.
The first part deals with the analysis of the resonance frequencies. With the use of frequency dependent length corrections, we estimate systematically the effect on the resonance frequencies of different bore perturbations inserted in cylindrical instruments. Applications to a clarinet resonator and comparisons with impedance measurements are then presented. A relatively good overall compensation between tone holes, bore taper and bell is highlighted and the origin of the tuning default between the first two registers of the clarinet is discussed. Then, we focus on the effect of the register hole only using an elementary model. Performing optimization on the register hole location results in an "optimal" location, close to the one chosen by clarinet makers ; then attempts are made numerically to improve the situation by introducing small perturbations in the higher part of the resonator.
The second part is devoted to the study of the self-sustained oscillations with the help of modal analysis. The foundations of the modelling procedure are briefly reviewed (unidimensional dissipative system) resulting in two equivalent formulations. The decomposition of the Green function on the modes of the resonator leads to an original description of the dynamics similar to a Van der Pol equation when only one mode is considered. The reduction to one mode is investigated analytically giving information about stability. Then, a numerical study is performed with emphasis to a multimodes resonator. Even if the dynamic is ensured by a few number of components, all of them participate in the oscillation by nonlinear coupling. A variation in the playing frequency is also highlighted during initial transients. Finally, the decomposition is validated with the harmonic balance technique.
The first part deals with the analysis of the resonance frequencies. With the use of frequency dependent length corrections, we estimate systematically the effect on the resonance frequencies of different bore perturbations inserted in cylindrical instruments. Applications to a clarinet resonator and comparisons with impedance measurements are then presented. A relatively good overall compensation between tone holes, bore taper and bell is highlighted and the origin of the tuning default between the first two registers of the clarinet is discussed. Then, we focus on the effect of the register hole only using an elementary model. Performing optimization on the register hole location results in an "optimal" location, close to the one chosen by clarinet makers ; then attempts are made numerically to improve the situation by introducing small perturbations in the higher part of the resonator.
The second part is devoted to the study of the self-sustained oscillations with the help of modal analysis. The foundations of the modelling procedure are briefly reviewed (unidimensional dissipative system) resulting in two equivalent formulations. The decomposition of the Green function on the modes of the resonator leads to an original description of the dynamics similar to a Van der Pol equation when only one mode is considered. The reduction to one mode is investigated analytically giving information about stability. Then, a numerical study is performed with emphasis to a multimodes resonator. Even if the dynamic is ensured by a few number of components, all of them participate in the oscillation by nonlinear coupling. A variation in the playing frequency is also highlighted during initial transients. Finally, the decomposition is validated with the harmonic balance technique.
Les instruments de musique à anche simple sont des systèmes auto-oscillants pour lesquels
les fréquences de l'oscillation (ou fréquence de jeu) sont influencées à la fois par le résonateur et l'excitateur. Dans cette étude, on s'intèresse au rôle du résonateur et aux fréquences de réesonance et modes qui lui sont associés. Deux parties constituent ce mémoire.
Une analyse détaillée des fréquences propres d'un résonateur de clarinette est présentée
dans la première partie. L'usage de corrections de longueur dépendantes de la fréquence donnent, effet par effet, l'influence sur l'inharmonicité des fréquences de résonance, de petites perturbations (trous latéraux, irrégularités de perce, gradient de température... Les prévisions théoriques sont comparées à des mesures d'impédance d'entrée mais les résultats ne permettent pas de conclure sur l'origine du défaut de justesse ressenti par les musiciens : on en conclut qu'il reste beaucoup à comprendre sur l'influence des paramètres de jeu. Ensuite, une position "optimale" du trou de registre est recherchée par méthodes d'optimisation retrouvant celle utilisée par les facteurs d'instruments.
La seconde partie est consacrée au calcul des auto-oscillations par méthode modale. L'établissement des équations est brièvement rappelé et conduit à deux formulations alternatives. Pour chacune d'elles, l'écriture de la fonction de Green décomposée sur les modes du tuyau conduit à une formulation originale des auto-oscillations dans le domaine temporel. La réduction à un mode aboutit à une équation de type Van der Pol permettant une approche analytique. Les résultats de simulations numériques pour un résonateur à plusieurs pics de résonances permettent une compréhension précise de la façon dont les différents modes sont excités : s'ils sont tous présents à l'attaque d'une note, un seul commence à croître et domine les autres, qui eux commencent par décroître avant d'être réexcités par couplage. Enfin, l'approche présentée est validée par la méthode d'équilibrage harmonique. En conclusion, la seconde partie ayant mis en évidence une variation de fréquence pendant le transitoire, suggère une voie d'études intéressante du problème de perception de la hauteur par les musiciens.
les fréquences de l'oscillation (ou fréquence de jeu) sont influencées à la fois par le résonateur et l'excitateur. Dans cette étude, on s'intèresse au rôle du résonateur et aux fréquences de réesonance et modes qui lui sont associés. Deux parties constituent ce mémoire.
Une analyse détaillée des fréquences propres d'un résonateur de clarinette est présentée
dans la première partie. L'usage de corrections de longueur dépendantes de la fréquence donnent, effet par effet, l'influence sur l'inharmonicité des fréquences de résonance, de petites perturbations (trous latéraux, irrégularités de perce, gradient de température... Les prévisions théoriques sont comparées à des mesures d'impédance d'entrée mais les résultats ne permettent pas de conclure sur l'origine du défaut de justesse ressenti par les musiciens : on en conclut qu'il reste beaucoup à comprendre sur l'influence des paramètres de jeu. Ensuite, une position "optimale" du trou de registre est recherchée par méthodes d'optimisation retrouvant celle utilisée par les facteurs d'instruments.
La seconde partie est consacrée au calcul des auto-oscillations par méthode modale. L'établissement des équations est brièvement rappelé et conduit à deux formulations alternatives. Pour chacune d'elles, l'écriture de la fonction de Green décomposée sur les modes du tuyau conduit à une formulation originale des auto-oscillations dans le domaine temporel. La réduction à un mode aboutit à une équation de type Van der Pol permettant une approche analytique. Les résultats de simulations numériques pour un résonateur à plusieurs pics de résonances permettent une compréhension précise de la façon dont les différents modes sont excités : s'ils sont tous présents à l'attaque d'une note, un seul commence à croître et domine les autres, qui eux commencent par décroître avant d'être réexcités par couplage. Enfin, l'approche présentée est validée par la méthode d'équilibrage harmonique. En conclusion, la seconde partie ayant mis en évidence une variation de fréquence pendant le transitoire, suggère une voie d'études intéressante du problème de perception de la hauteur par les musiciens.
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