Multi-resolution analyses and boundary problems: applications to image compression and to the numerical resolution of Partial Differential Equations
Analyses multirésolutions et problèmes de bords: applications au traitement d'images et à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles
Résumé
This work is devoted to the construction of new numerical wavelet-based methods for the resolution of Partial Differential Equations and for image compression. In the first part, we define and analyse a numerical algorithm that couples wavelet approximations with fictitious domain approach for the approximation of parabolic equations on a general 2D domain. We provide a mathematical analysis that proves the efficiency of this approach in terms of quality of results (error bound, local refinement), numerical efficiency (condition number, simple diagonal preconditioning) and tractability (fast and efficient computation). Two applications to the resolution of the heat equation defined on non-polygonal domains or evolving-in-time domains are presented. The second part deals with the construction of a new compression algorithm adapted to the geometry of the image. We start by introducing 1D multi-scale analyses of Harten's type depending on a family of points. These analyses lead to efficient multi-scale decompositions for discontinuous signals. This approach is then generalized to the 2D case and a compression algorithm depending on the edges of the image is introduced. It uses a map of edges previously obtained. Several comparisons between this new approach and other approaches are then presented.
Ces travaux sont dédiés au développement de méthodes numériques à base d'ondelettes pour la résolution d'équations aux dérivées partielles et pour le traitement d'images. La première partie est consacrée à la construction d'une nouvelle méthode couplant ondelettes et domaines fictifs pour la résolution d'équations paraboliques 2D définies sur un domaine quelconque. Une analyse complète de la méthode est fournie; elle montre l'efficacité de cette approche en terme de qualité des résultats (borne d'erreur, raffinement local), d'efficacité numérique (conditonnement, préconditionnement simple) et de flexibilité de l'implémentation (implémentation rapide et efficace). Deux applications numériques à la résolution de l'équation de la chaleur définie sur des domaines non polygonaux ou à frontière mobile (problème de Stefan) sont présentées. La seconde partie est consacrée à la construction d'un nouvel algorithme de compression d'images adapté aux contours. On commence par introduire des analyses multi-échelles 1D du type Harten, dépendant d'une famille de points. Ces analyses conduisent à des décompositions multi-échelles efficaces pour la représentation de signaux discontinus. Cette approche est ensuite généralisée au cas bi-dimensionnel et un algorithme de compression multi-directionnel dépendant des contours de l'image est introduit. Il utilise une carte des contours obtenue préalablement. Plusieurs comparaisons avec d'autres approches sont ensuite présentées.