Macroscopic models for nonlinear out-of-equilibrium quantum systems
Développement de modèles macroscopiques pour des systèmes quantiques non linéaires hors équilibre
Résumé
This document proposes a mathematical framework to analyze far-from-equilibrium electronic transport in mesoscopic devices, like heterostructures or superlattices. This leads to study the asymptotics of nonlinear-1D-Schrödinger-Poisson systems. The potential is made with quantum wells in a semiclassical island with cliffs. The main result for the nonlinear theory is the existence of asymptotical steady states. Moreover we show that they lie in a finite-dimensional subspace of continuous functions. Besides, one focuses on the understanding of spectral properties of the linear Schrödinger Operator for this semilinear problem. In this framework we lead the analysis over the continuous spectrum. The quantum wells generate quantum resonances. First we give results about functions of the Hamiltonian. Next, we focus on the more delicate case of functions of the asymptotical momentum. Results are given when the distribution of the wells over the island ensures good treatement of the resonances : for instance, whenever the wells are gathered or confined far from the boundary of the island. This establishes classical-like solutions, and we finish our analysis by showing the possible existence of quantum-like solutions.
Cette thèse a pour objectif de proposer un modèle mathématique pour le transport électronique hors-équilibre dans des systèmes mésoscopiques tels que les hétérostuctures ou les super-réseaux. On est amené à faire une étude asymptotique de systèmes non-linéaires stationnaires 1D du type Schrödinger-Poisson hors-équilibre. Le potentiel présente des sauts ainsi que des puits quantiques ponctuels à la limite. Pour l'étude non-linéaire à proprement parler, on établit l'existence de solutions asymptotiques, et que celles-ci sont déterminées par un nombre fini de paramètres. Néanmoins, le gros de l'étude consiste en une compréhension des propriétés spectrales de l'équation de Schrödinger linéaire associée, le système non-linéaire étudié étant semi-linéaire. La nature du problème nécessite une analyse sur le spectre continu, qui plus est la présence des puits engendre des résonances quantiques. Après avoir établi l'asymptotique des fonctions du Hamiltonien, on s'attarde sur les fonctions du moment. Leur analyse, plus complexe, est étroitement liée aux résonances de l'opérateur. On fournit une réponse complète dans les cas où la répartition des puits permet un traitement de ces résonances, notamment lorsque les puits sont bien groupés ou confinés à l'intérieur de l'île et suivant qu'ils sont alimentés ou non. Cette discussion met en évidence l'existence de solutions stationnaires dites classiques, par opposition aux solutions de nature quantique. On termine l'étude en mettant en évidence l'existence de solutions quantiques dans des cas particuliers.
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