Familles de surfaces de Klein et fonctions rationnelles réel-étales

Mathilde Lahaye-Hitier

Abstract : The main topic of this thesis is the classification -- up to isotopy -- of real-etale rational functions of $\P^1_(\R)=\P^1$. A real rational function is a fraction of two polynomes with real coefficients, or, equivalently, an endomorphism of $\P^1$. We say that such a function is real-etale if it is unramified over the real points of $\P^1$. As we will see later, these functions are interesting because of their link with $M$-surfaces. Our study is in relation with the article [EG02] of A. Eremenko and A. Gabrielov. They solve there a B. and M. Shapiro conjecture in dimension $1$. Therefore, they study the rational functions of $\P^1$ with only real ramification points. Looking at the real-etale rational functions up to homotopy, we may pass through rational functions that have ramification over real points. This is too rough a classification. That's why we rather study the real-etale rational functions up to isotopy. Two such functions are (\em isotope) if it is possible to pass from one to the other by continuous deformations in the set of real-etale rational functions with same degree. To give a more precise definition of the notion of isotopy, a first part of the thesis develops the theory of continuous families of Klein surfaces. Therefore, I take the view point of locally ringed spaces. In particular, it allows a more natural definition of morphisms of Klein surfaces than the one given in the classical theory. Moreover, it makes the work with families easier. In this study, I also prove a Riemann Existence Theorem for this families. The main objects of the classification are the (\em signed trees) associated to a real-etale rational function. Topologically, an endomorphism of $\P^1$ is a ramified covering of the disc. A rational function $f$ on $\P^1$ is real-etale if and only if the inverse image $f^(-1)\bigl(\P^1(\R)\bigr)$ of the set of real points is a disjoint union of topological circles in $\C$. This circles are the vertices of the tree. The vertices are the connected components of $f^(-1)\bigl(\P^1\setminus\P^1(\R)\bigr)$. An edge $e$ is the extremity of a vertex $v$ if the topological circle $e$ is included in the closure of $v$ in $\P^1$. Moreover, to each edge $e$ is associated a weight which correspond to the degree of the restriction of $f$ to $e$. An orientation on $\P^1$ induces an orientation on its set of real points. We then add at the foot of the weighted tree of $f$ a $"+"$ or $"-"$ sign depending on whether $f$ respects or inverses respectively the orientation on $\P^1(\R)$. This way, we get the (\em signed tree) of $f$. Conversely, to each signed tree may be associated a real-etale rational function.

Résumé : Cette thèse a pour objet la classification -- à isotopie près -- des fonctions rationnelles réel-étales de $\P^1_(\R)=\P^1$. Une fonction rationnelle réelle est une fraction de deux polynômes à coefficients réels, ou, de manière équivalente, un morphisme de $\P^1$ dans lui-même. Une telle fonction est dite réel-étale si elle n'a pas de ramification au-dessus des points réels. Comme nous le verrons plus bas, ces fonctions sont intéressantes à cause de leur lien avec les $M$-surfaces. Notre étude fait aussi le pendant de l'article [EG02] de A. Eremenko et A. Gabrielov dans lequel ils résolvent une conjecture de B. et M. Shapiro en dimension $1$. Pour cela, ils Ètudient les fonctions rationnelles sur $\P^1$ dont tous les points de ramification sont réels. Si on regardait les fonctions rationnelles réel-étales à homotopie près, on pourrait passer par des fonctions rationnelles ramifiées au-dessus des points réels. Cette classification est trop grossière. C'est pourquoi nous étudions plutôt les fonctions rationnelles réel-étales à isotopie près. Deux fonctions rationnelles réel-étales sont (\em isotopes) si l'on peut passer de l'une à l'autre par déformation continue dans l'ensemble des fonctions rationnelles réel-étales de mÍme degré. Pour définir de façon précise cette notion d'isotopie, une première partie de ma thèse développe la théorie des familles continues de surfaces de Klein. Pour cela, j'utilise le point de vue des espaces localement annelés. Ils permettent entre autre une définition plus naturelle des morphismes de surfaces de Klein que celle de la théorie classique. D'autre part, ils facilitent le travail en famille. Lors de cette étude, je démontre aussi un Théorème d'Existence de Riemann pour ces familles. Les principaux objets qui interviennent dans la classification sont les (\em arbres signés) associés à une fonction rationnelle réel-étale. Topologiquement, un endomorphisme de $\P^1$ est un revêtement ramifié du disque fermé par lui-même. Une fonction rationnelle $f$ sur $\P^1$ est réel-étale si et seulement si l'image réciproque $f^(-1)\bigl(\P^1(\R)\bigr)$ des points réels est la réunion disjointe de cercles topologiques dans $\C$. Ces cercles sont les arêtes de l'arbre. Les sommets de l'arbre sont les composantes connexes de $f^(-1)\bigl(\P^1\setminus\P^1(\R)\bigr)$. Un sommet $s$ est l'extrémité d'une arÍte $e$ si le cercle topologique $e$ est inclus dans l'adhérence de $s$ dans $\P^1$. De plus, l'arbre est pondéré : à chaque arête $e$ est associé le degré topologique de $f$ restreint à $e$. Une orientation sur $\P^1$ induit une orientation sur ses points réels. On ajoute alors au pied de l'arbre de $f$ un signe $"+"$ ou $"-"$ selon que $f$ préserve ou inverse respectivement l'orientation sur $\P^1(\R)$. Ceci donne l'(\em arbre signé) de $f$. Réciproquement, on montre que tout arbre signé peut être associé à une fonction rationnelle réel-étale.

Families of Klein surfaces and real-etale rational fonctions

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