On the local topology of spaces of foliations on closed three-manifolds

Topologie locale des espaces de feuilletages des variétés fermées de dimension 3

Audrey Larcanché (1)

1 LPP - Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524

We are interested in orientable foliations by surfaces on compact orientable three-manifolds without boundary. We prove that two such foliations on a closed orientable three-manifold are homotopic if they are taut and sufficiently close. First of all, we prove a version ``with parameter'' of a theorem of Thurston according to which foliations of the torus can be extended to foliations of the solid torus. In this work we construct such an extension and we use Herman's theorem on conjugacy of circle diffeomorphisms to rotations to ensure that this extension is continuous with respect to the foliations. Then we prove that the space of foliations transverse to a fiber bundle over a closed orientable surface is homotopic to a point. Finally, we establish the announced result by means of an idea of Thurston and the previous results. We deduce consequences on the local topology of foliations by surfaces on closed three-manifolds.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux feuilletages orientables en surfaces des variétés fermées de dimension 3. Nous prouvons que deux tels feuilletages sur une variété fermée orientable sont homotopes s'ils sont tendus et suffisamment proches. Pour cela, nous établissons d'abord une version ''à paramètre'' d'un théorème de Thurston selon lequel il est possible de prolonger certains feuilletages du tore-surface au tore solide. Dans ce travail, nous construisons un tel prolongement et nous utilisons le théorème d'Herman sur la conjugaison des difféomorphismes du cercle à des rotations pour établir la continuité de ce prolongement par rapport aux feuilletages. Ensuite nous montrons que l'espace des feuilletages en surfaces transverses à une fibration au-dessus d'une surface fermée orientable est homotope à un point. Enfin, nous prouvons le résultat annoncé en utilisant une idée de Thurston et la construction précédente. Nous en déduisons quelques conséquences sur la topologie locale de l'espace des feuilletages en surfaces sur les variétés fermées de dimension 3.

Mots clés: taut foliation; homotopy; Reeb component; foliation by surfaces; Herman theorem of global conjugacy

Mots clés: feuilletages tendus; homotopie; composante de Reeb; feuilletages en surfaces; théorème de conjugaison globale d'Herman

Domaines: Mathématiques [math]

Audrey Larcanché. Topologie locale des espaces de feuilletages des variétés fermées de dimension 3. Mathématiques [math]. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00008258⟩