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Supersingular module and rational points on modular curves

Module supersingulier et points rationnels des courbes modulaires

Résumé : Nous étudions ici le groupe libre engendré par les classes d'isomorphisme de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique $p$ appelé module supersingulier. Nous le comparons à d'autres modules de Hecke : l'homologie de la courbe modulaire $X_0(p)$ et l'ensemble des formes modulaires de poids $2$ et de niveau $p$. Nous donnons des interprétations et des applications des formules de Gross et Gross-Kudla concernant les fonctions L de formes modulaires. Les liens entre le module supersingulier et la géométrie de $X_0(p)$ nous permettent d'appliquer ces résultats à l'étude des points rationnels de certaines courbes modulaires. Reprenant une méthode de Momose et Parent, nous déterminons notamment un ensemble infini de nombres premiers $p$ pour lesquels le quotient de $X_0(p^r)$ ($r\geq 2$) par l'opérateur d'Atkin-Lehner n'a pour points rationnels que les pointes et les points CM.