Wave propagation in curved waveguides and Green function in duct carrying sheared flow
Propagation acoustique dans les guides d'ondes courbes et Problème avec source dans un écoulement cisaillé
Résumé
Two studies are presented in this work, both concerned with modal propagation in waveguides : the acoustic propagation in curved waveguides and the problem of the field generated by a source in a parallel shear flow.
A multimodal formulation of the sound propagation in 2 or 3-dimensionnal curved waveguides is proposed and validated. Two infinite first-order differential equations are constructed for the pressure and axial velocity in the bend, as well as a Riccati equation for the impedance matrix. When the section of the bend is constant and the wall admittance is uniform, an algebraic formulation of the reflection and transmission matrices can be obtained, which enables us to characterize the scattering properties of bends and every complex duct system composed with curved and straight parts. A comparison between this wave approach and a scattering matrix constructed with a ray method shows a great similarity between these two results at high frequencies. Sound attenuation in lined bends is also considered using the multimodal method, and the properties of such ducts treated with absorbing materials are studied.
In a second part, the sound field generated by a source in duct carrying a shear flow is derived. We first derive the Green function of the Pridmore-Brown equation, governing modes in a rectilinear duct with shear flow. When applying the inverse Fourier transform, the poles of this Green function lead to the acoustic modes, which amplitude can then be calculated. The presence of a continuous spectra due to the singularity of the
Pridmore-Brown equation is also shown, and the contribution of corresponding continuum of hydrodynamic modes is evaluated.
A multimodal formulation of the sound propagation in 2 or 3-dimensionnal curved waveguides is proposed and validated. Two infinite first-order differential equations are constructed for the pressure and axial velocity in the bend, as well as a Riccati equation for the impedance matrix. When the section of the bend is constant and the wall admittance is uniform, an algebraic formulation of the reflection and transmission matrices can be obtained, which enables us to characterize the scattering properties of bends and every complex duct system composed with curved and straight parts. A comparison between this wave approach and a scattering matrix constructed with a ray method shows a great similarity between these two results at high frequencies. Sound attenuation in lined bends is also considered using the multimodal method, and the properties of such ducts treated with absorbing materials are studied.
In a second part, the sound field generated by a source in duct carrying a shear flow is derived. We first derive the Green function of the Pridmore-Brown equation, governing modes in a rectilinear duct with shear flow. When applying the inverse Fourier transform, the poles of this Green function lead to the acoustic modes, which amplitude can then be calculated. The presence of a continuous spectra due to the singularity of the
Pridmore-Brown equation is also shown, and the contribution of corresponding continuum of hydrodynamic modes is evaluated.
Les travaux de cette thèse ont pour cadre l'approche modale de la propagation d'ondes en conduit. Deux aspects sont abordés : la propagation acoustique dans les guides d'ondes courbes, sans écoulement, et le problème d'une source dans un écoulement cisaillé, dans un conduit rectiligne.
Pour un guide courbe à deux ou trois dimensions, une formulation multimodale de la propagation acoustique est mise en place et validée, et des équations différentielles matricielles sont établies pour la pression et la vitesse longitudinale, ainsi qu'une équation de Riccati pour la matrice impédance. Si les caractéristiques du coude (section, admittance aux parois) sont constantes, un calcul algébrique de la matrice de diffusion est possible, qui permet l'étude des propriétés de diffusion de ce coude et de tout système complexe composé de conduits droits et courbes. Une comparaison de cette approche, ondulatoire, et d'une matrice de diffusion construite par la méthode des rayons montre une très grande similitude entre ces résultats à haute fréquence. L'atténuation dans un coude traité en parois par un matériau absorbant est enfin étudiée dans le cadre de l'approche multimodale et nous mettons en évidence plusieurs propriétés des conduits courbes traités.
La seconde partie de ces travaux concerne le problème de la propagation acoustique dans un guide droit siège d'un écoulement parallèle cisaillé, en présence d'une source. La fonction de Green de l'équation de Pridmore-Brown est calculée dans un premier temps. Par transformée de Fourier spatiale inverse, les pôles de la fonction de Green font apparaître les modes acoustiques perturbés par l'écoulement, dont il est alors possible de calculer l'amplitude. La présence d'un spectre continu dû à la singularité de l'équation de Pridmore-Brown est également mise en évidence, et la contribution du continuum de modes hydrodynamiques correspondant est étudiée et décrite.
Pour un guide courbe à deux ou trois dimensions, une formulation multimodale de la propagation acoustique est mise en place et validée, et des équations différentielles matricielles sont établies pour la pression et la vitesse longitudinale, ainsi qu'une équation de Riccati pour la matrice impédance. Si les caractéristiques du coude (section, admittance aux parois) sont constantes, un calcul algébrique de la matrice de diffusion est possible, qui permet l'étude des propriétés de diffusion de ce coude et de tout système complexe composé de conduits droits et courbes. Une comparaison de cette approche, ondulatoire, et d'une matrice de diffusion construite par la méthode des rayons montre une très grande similitude entre ces résultats à haute fréquence. L'atténuation dans un coude traité en parois par un matériau absorbant est enfin étudiée dans le cadre de l'approche multimodale et nous mettons en évidence plusieurs propriétés des conduits courbes traités.
La seconde partie de ces travaux concerne le problème de la propagation acoustique dans un guide droit siège d'un écoulement parallèle cisaillé, en présence d'une source. La fonction de Green de l'équation de Pridmore-Brown est calculée dans un premier temps. Par transformée de Fourier spatiale inverse, les pôles de la fonction de Green font apparaître les modes acoustiques perturbés par l'écoulement, dont il est alors possible de calculer l'amplitude. La présence d'un spectre continu dû à la singularité de l'équation de Pridmore-Brown est également mise en évidence, et la contribution du continuum de modes hydrodynamiques correspondant est étudiée et décrite.