Dissociation des Extensions Algébriques de Corps par les Extensions Galoisiennes ou Galsimples non Galoisiennes
Abstract
The fundamental Theorem of Arithmetic factorizes any integer in a product of prime numbers. The Jordan-Hölder Theorem unravels many groups by their normal series which are refined in composition series. The central topic of this thesis is the dissociation of field extensions. We dissociate algebraic extensions by their intermediate fields in order to construct a tower with maximum number of Galois steps. We say that an algebraic extension is "galtourables" if it dissociates into a Galois tower (all steps of which are Galois extensions). Two Galois towers of the same galtowerable extension (finite or infinite) admit equivalent refinements. But there exist nongaltowerable algebraic extensions. Into any finite extension, there is a unique intermediate field, no extension of which is galtowerable : its "field of intowerability".Then, we say that the ultimate step of an "elevation tower" of a nongaltowerable extension is "galsimple" ; and it is nonGalois. The final theorem of this thesis dissociates any finite extension by its elevation towers which are refined in "composition towers". Thus we obtain an analogue, for fields extensions, to the Jordan-Hölder Theorem for groups.
Le théorème fondamental de l'Arithmétique factorise tout nombre entier en produit de nombres premiers. Le théorème de Jordan-Hölder dévisse de nombreux groupes par leurs suites normales qui se raffinent en suites de composition. Le thème central de cette étude est celui de la dissociation des extensions de corps. Nous dissocions les extensions algébriques par leurs corps intermédiaires de façon à constituer une tour qui comporte le plus grand nombre possible de marches galoisiennes. Nous appelons "galtourables" les extensions admettant une tour de corps dont toutes les marches sont galoisiennes (dite "tour galoisienne"). Deux tours galoisiennes d'une même extension galtourable (finie ou infinie) admettent des raffinements équivalents. Mais il existe des extensions algébriques non galtourables. A toute extension finie est attaché un corps intermédiaire unique, son "corps d'intourabilité", au-delà duquel l'extension n'est plus galtourable. L'ultime marche d'une "tour d'élévation" d'une extension non galourable est alors dite "galsimple" et elle est non galoisienne. Le théorème final de cette thèse dissocie toute extension finie par ses tours d'élévation qui se raffinent en "tours de composition". Nous obtenons ainsi un analogue pour les extensions de corps du théorème de Jordan-Hölder pour les groupes.