Homotopic localization and vector space functors
Localisation homotopique et foncteurs entre espaces vectoriels
Résumé
We study categories of functors from a small additive category to a category of modules. For this purpose, we use localization technics in the homotopy categoriy of simplicial objects. Define the degree of a polynomial functor through cross-effects. We first justify the existence of a localization where local objects are those simplicial functors having homotopy groups of degree n or less. The category of functors is filtered by the sequence of sub-categories of functors of degree n. This filtration gives raise to a tower of homotopical localizations. Next we describe the n-th fiber of this tower. It uses the category of symetric n-variables functors and localizations in this setting. Here, local functors are those having linear homotopy groups in each variable. In the case of functors from the category of free modules of finite rank, we obtain another description, using simplicial modules on a simplicial ring. For vector spaces on the field with two elements, the homotopy of the simplicial ring in the n-th tensor product of the dual Steenrod algebra. We end with a calculationof homotopy groups of the simplicial modules obtained from functors associated to the symetric, the exterior and the divided power algebra.
On étudie principalement les catégories de foncteurs de source une petite catégorie additive et de but une catégorie de modules. Pour cela on utilise des techniques de localisations dans la catégorie homotopique des objets simpliciaux. La notion de déviation (cross-effect) permet de définir le degré d'un foncteur polynomial. Dans un premier temps, on justifie l'existence d'une localisation dont les objets locaux sont les foncteurs simpliciaux ayant des groupes d'homotopies de degré n. La catégorie de foncteurs est filtrée par la suite croissante de sous-catégories des foncteurs de degré inférieur ou egal à n. Cette filtration donne lieu à une tour de localisations homotopiques. On donne ensuite une description de la n-ième fibre de cette tour. On utilise pour cela la catégories des foncteurs à n variables symétriques et les localisations dans ce cadre. Les foncteurs locaux sont alors ceux ayant des groupes d'homotopies linéaires en chaques variables. Dans le cas de foncteurs de source la catégorie des modules libres de rang fini, on obtient une autre description, en termes de modules simpliciaux sur un anneau simplicial. Pour les espaces vectoriels sur le corps à deux éléments, l'homotopie de l'anneau simplicial est la n-ième puissance tensorielle de l'algèbre dual de l'algèbre de Steenrod. Enfin, on calcul les groupes d'homotopies des modules simpliciaux obtenus à partir des foncteurs associés aux algèbres symétriques, extérieures, et divisées.
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