Representations of quantum affinized algebras : q,t-characters and fusion product.

Représentations des algèbres affinisées quantiques : q,t-caractères et produit de fusion

David Hernandez (1)

1 DMA - Département de Mathématiques et Applications - ENS Paris

In this thesis we propose several new developments in the study of quantum groups and their representations. In the framework of the study of finite dimensional representations of quantum affine algebras, we give a new and more general algebraic construction of q,t-characters (t-deformations of Frenkel-Reshetikhin's q-characters), independent from the geometric construction of Nakajima (which holds only in the ADE-case). It allows us to extend the quantization of the Grothendieck ring and the definition of analogs of Kazhdan-Lusztig polynomials to non simply laced cases. Besides we establish a triangular decomposition of general quantum affinizations (including quantum affine and toroidal algebras) and classify their integrable highest weight representations. We propose a new construction of a fusion product by defining a deformation of the ``new Drinfel'd coproduct''.

Dans cette thèse nous proposons plusieurs contributions à l'étude des groupes quantiques et de leurs représentations. Dans le cadre de l'étude des représentations de dimension finie des algèbres affines quantiques, nous proposons une nouvelle construction algébrique générale des q,t-caractères (t-déformations des q-caractères de Frenkel-Reshetikhin), indépendante de la construction géométrique de Nakajima (cette dernière n'est valable que pour le cas ADE). Cela nous permet d'étendre la quantification de l'anneau de Grothendieck et la définition des analogues des polynômes de Kazhdan-Lusztig aux cas non simplement lacés. Par ailleurs nous établissons une décomposition triangulaire des affinisées quantiques générales (incluant les algèbres affines et toroïdales quantiques) et classifions leurs représentations intégrables de plus haut poids. Nous proposons une nouvelle construction d'un produit de fusion en définissant une déformation du ``nouveau coproduit de Drinfel'd''.

Mots clés: Non-commutative algebra; quantum groups; representation theory; quantum affine algebras; quantum toroidal algebras; q; t-characters; Kazhdan-Lusztig polynomials; fusion product.

Mots clés: Algèbre non-commutative; groupes quantiques; théorie des représentations; algèbres affines quantiques; algèbres toroïdales quantiques; t-caractères; polynômes de Kazhdan-Lusztig; produit de fusion.; produit de fusion

Domaines: Mathématiques [math]

David Hernandez. Représentations des algèbres affinisées quantiques : q,t-caractères et produit de fusion. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00007188⟩