Structures différentielles en géométrie complexe et presque complexe
Résumé
We give a generalization, in the context of coherent analytic sheaves, of a classical result of Koszul-Malgrange concerning the integrability of connections of type $(0,1)$ over a $(\cal C)^(\infty)$ complex vector bundle over a complex manifold. We introduce the notion of $\bar(\partial)$-coherent sheaf, which is a $(\cal C)^(\infty)$ notion, and we prove the existence of an (exact) equivalence between the category of coherent analytic sheaves and the category of $\bar(\partial)$-coherent sheaves. The main application of this caracterisation concerns a method which allows to find analytic structures which are obtained by smooth deformations of other ones. In a second part we conjecture, as in the complex case, that the plurisubharmonicity of a function $u$ over an almost complex manifold is equivalent to the positivity of the $(1,1)$-current $i\partial\bar(\partial)u$. We prove the necessity of the positivity of this current. We prove also the sufficiency of the positivity in the particular case of an upper semi-continuous function which is continuous in the complement of the locus in which it takes the value $-\infty$.
Nous généralisons au contexte des faisceaux analytiques cohérents un résultat classique de Koszul-Malgrange concernant l'intégrabilité des connexions de type $(0,1)$ sur un fibré vectoriel complexe $(\cal C)^(\infty)$ au dessus d'une variété complexe. En introduisant la notion de faisceau $\bar(\partial)$-cohérent, qui est une notion qui vit dans le contexte $(\cal C)^(\infty)$, nous montrons l'existence d'une équivalence (exacte) entre la catégorie des faisceaux analytiques cohérents et la catégorie des faisceaux $\bar(\partial)$-cohérents. L'application principale de cette caractérisation est une méthode (la $\bar(\partial)$-stabilité) qui permet de trouver des structures analytiques lesquelles sont obtenues par déformation $\ci$ d'autres structures analytiques. En suite nous conjecturons, comme dans le cas analytique complexe, que la notion de plurisousharmonicité pour une fonction $u$ sur une variété presque complexe est équivalente à la positivité du $(1,1)$-courant $i\partial\bar(\partial)u$. Nous montrons la nécessité de la positivité de ce courant. Nous montrons aussi la suffisance de la positivité dans le cas particulier d'une fonction semi-continue supérieurement et continue en dehors du lieu ou elle vaut $-\infty$.