Arithmétique des corps de fonctions et ses applications à l'algorithmique et à la cryptologie
Résumé
This thesis is devoted to the study of arithmetic of functional fields and their applications to cryptology. We first present most classical and general results on irreducible polynomials over a finite field $(\bf F)$. To be more specific, we provide existing irreducibility tests and methods to construct such polynomials, either by composition or recursively. Next, we review basic facts on $p$-adic number fields, give the formula of the discriminant of a trinomial and then recall Swan's theorem. We also present an application due to Swan, proving that there is no trinomial of degree $n$ which is irreducible over $(\bf G)$, when $n$ is a multiple of $8$. We then apply these methods to pentanomials. Next, we present basic facts and results on Drinfeld modules over $A=(\bf F)[T]$ and discuss analogies between elliptic curves and Drinfeld modules such as the structure of torsion points, isogenies and the Hasse theorem. We then use elementary methods to determine all possible structures of the $A$-torsion points and a uniform bound for the set of $B$-rational torsion points, where $B$ is a finite integral extension of $A$ and the Drinfeld module $\varphi$ ranges over all Drinfeld modules defined over $A$ and $B$ respectively. Finally, we focus on Drinfeld modules over finite fields and their applications to cryptology.
Dans cette thèse, on s'intéresse à l'arithmétique des corps de fonctions et à leurs applications à la cryptologie. Tout d'abord, on présente des résultats classiques et généraux sur les polynômes irréductibles: tests d'irréductibilité, dénombrement des polynômes irréductibles, et construction par composition ou récurrence. Ensuite, on rappelle les propriétés élémentaires des corps de nombres $p$-adiques, la formule donnant le discriminant d'un trinômial, le théorème de Swan ainsi qu'une application: il n'existe pas de trinômial irréductible sur $(\bf F)_2$ de degré $n$ divisible par huit. On applique alors ces méthodes aux pentanômiaux. Ensuite, on présente la théorie générale des modules de Drinfeld sur $A=(\bf F)_q [T]$ et on dresse une liste d'analogie entre courbes elliptiques et modules de Drinfeld: structure des points de torsion, isogénies et théorème de Hasse. En utilisant des techniques élémentaires on donne une description explicite des points de torsions dans $A$ lorsque le module de Drinfeld est entier, ainsi qu'une borne unforme pour la torsion dans les extensions entières finies de $A$. Enfin, dans le dernier chapitre, on s'intéresse aux modules de Drinfeld sur un corps fini et leurs applications à la cryptologie.