Hilbertian subspaces, subdualities and applications
Sous-espaces hilbertiens, sous-dualités et applications
Résumé
Functions of two variables appearing in integral transforms (Bergman, Segal, Carleman), or more generally kernels in the sense
of Laurent Schwartz - defined as weakly continuous linear mappings between the dual of a locally convex vector space
and itself - have been investigated for half a century, particularly in the field of distributions, differential equations and in the probability field with the study
of Gaussian measures or Gaussian processes.
The study of these objects may take various forms, but in case of positive kernels, the study of the properties of the image space initiated by Moore, Bergman
and Aronzjan leads to a crucial result:
the range of the kernel can be endowed with a natural
scalar product that makes it a prehilbertian space and its completion belongs ( under some weak additional topological conditions on the locally convex space)
to the locally convex space. Moreover, this injection is continuous. Positive kernels then seem to be deeply related to some particular Hilbert spaces and
our will in this thesis is to study the other kernels. What can we say if the kernel is neither positive, nor Hermitian ?
To do this we actually follow a second path and study directly spaces rather than kernels. Considering Hilbert spaces, some mathematicians have been interested
in a particular subset of the set of Hilbert spaces, those Hilbert spaces that are continuously included in a common
locally convex vector space. The relative theory is known as the theory of Hilbertian subspaces and is closely
investigated in the first chapter. Its main result is that surprisingly the notions of Hilbertian subspaces and positive kernels are equivalent, which is generally summarized as follows:
``there exists a bijective correspondence between positive kernels and Hilbertian subspaces''.
The main difference with the existing theory in the first chapter is the use of dual systems and bilinear forms and one of its consequence is the emergence of some loss of symmetry that will lead to our general theory of subdualities.
In the second chapter we study the existing theory of Hermitian (or Krein) subspaces which are indefinite inner product spaces.
These spaces actually generalize the previous notion of Hilbertian subspaces and their study is a first step to the greater generalization of chapter three.
These spaces are deeply connected to Hermitian kernels but interestingly enough the previous fundamental equivalence is lost. Then we focus on the differences between this theory and the Hilbertian one for these differences will of course remain when dealing with subdualities.
In the third chapter we present a new theory of a dual system of vector spaces called subdualities which treat the previous chapters as particular cases.
A topological definition of subdualities is as follows:
a duality $(E,F)$ is a subduality of the dual system $(\cE,\cF)$ if and only if both $E$ and $F$ are weakly continuously embedded in $\cE$.
It appears that we can associate a unique kernel (in the sense of L. Schwarz) with any subduality,
whose image is dense in the subduality.
The study of the image of a subduality by a weakly continuous linear operator, makes it possible to define a vector space structure upon the set of subdualities, but given a certain equivalence relation.
A canonical representative entirely defined by the kernel is then given, which enables us to state a bijection theorem between canonical subdualities and kernels.
Finally a fourth chapter is dedicated to applications. We first study the link between Hilbertian subspaces and Gaussian measures and try to extend the theory to Krein subspaces and subdualities. Then we study some particular operators: operators in evaluation subdualities (subdualities of $\KK^(\Omega)$)
and differential operators.
of Laurent Schwartz - defined as weakly continuous linear mappings between the dual of a locally convex vector space
and itself - have been investigated for half a century, particularly in the field of distributions, differential equations and in the probability field with the study
of Gaussian measures or Gaussian processes.
The study of these objects may take various forms, but in case of positive kernels, the study of the properties of the image space initiated by Moore, Bergman
and Aronzjan leads to a crucial result:
the range of the kernel can be endowed with a natural
scalar product that makes it a prehilbertian space and its completion belongs ( under some weak additional topological conditions on the locally convex space)
to the locally convex space. Moreover, this injection is continuous. Positive kernels then seem to be deeply related to some particular Hilbert spaces and
our will in this thesis is to study the other kernels. What can we say if the kernel is neither positive, nor Hermitian ?
To do this we actually follow a second path and study directly spaces rather than kernels. Considering Hilbert spaces, some mathematicians have been interested
in a particular subset of the set of Hilbert spaces, those Hilbert spaces that are continuously included in a common
locally convex vector space. The relative theory is known as the theory of Hilbertian subspaces and is closely
investigated in the first chapter. Its main result is that surprisingly the notions of Hilbertian subspaces and positive kernels are equivalent, which is generally summarized as follows:
``there exists a bijective correspondence between positive kernels and Hilbertian subspaces''.
The main difference with the existing theory in the first chapter is the use of dual systems and bilinear forms and one of its consequence is the emergence of some loss of symmetry that will lead to our general theory of subdualities.
In the second chapter we study the existing theory of Hermitian (or Krein) subspaces which are indefinite inner product spaces.
These spaces actually generalize the previous notion of Hilbertian subspaces and their study is a first step to the greater generalization of chapter three.
These spaces are deeply connected to Hermitian kernels but interestingly enough the previous fundamental equivalence is lost. Then we focus on the differences between this theory and the Hilbertian one for these differences will of course remain when dealing with subdualities.
In the third chapter we present a new theory of a dual system of vector spaces called subdualities which treat the previous chapters as particular cases.
A topological definition of subdualities is as follows:
a duality $(E,F)$ is a subduality of the dual system $(\cE,\cF)$ if and only if both $E$ and $F$ are weakly continuously embedded in $\cE$.
It appears that we can associate a unique kernel (in the sense of L. Schwarz) with any subduality,
whose image is dense in the subduality.
The study of the image of a subduality by a weakly continuous linear operator, makes it possible to define a vector space structure upon the set of subdualities, but given a certain equivalence relation.
A canonical representative entirely defined by the kernel is then given, which enables us to state a bijection theorem between canonical subdualities and kernels.
Finally a fourth chapter is dedicated to applications. We first study the link between Hilbertian subspaces and Gaussian measures and try to extend the theory to Krein subspaces and subdualities. Then we study some particular operators: operators in evaluation subdualities (subdualities of $\KK^(\Omega)$)
and differential operators.
L'étude des fonctions de deux variables et des opérateurs intégraux associés, ou l'étude directe des noyaux au sens de L. Schwartz (définis comme opérateurs faiblement continus du dual topologique d'un espace vectoriel localement convexe dans lui même), est depuis plus d'un demi-siècle une branche des mathématiques en pleine expansion notamment dans le domaine des distributions, des équations différentielles ou dans le domaine des probabilités avec l'étude des mesures gaussiennes et
des processus gaussiens.
Les travaux de Moore, Bergman et Aronszajn ont notamment abouti au résultat fondamental suivant qui concerne les noyaux positifs : il est toujours possible de construire un sous-espace préhilbertien à partir d'un noyau positif et, moyennant quelques hypothèses (faibles) supplémentaires, de compléter fonctionnellement cet espace afin d'obtenir alors un espace de Hilbert. Cet espace possède alors la propriété d'être continûment inclus dans l'espace vectoriel localement convexe de départ.
Il existe donc une relation forte entre noyaux positifs et espaces hilbertiens. Dans cette thèse, nous nous sommes posés le problème suivant : que se passe t'il si l'on lève l'hypothèse
de positivité ? D'hermicité ?
Dans cette perspective nous considérons une seconde approche qui consiste à travailler directement sur des espaces vectoriels plutôt que sur les noyaux.
Précisément, adoptant une démarche classique en mathématiques, nous étudions les propriétés d'une classe d'espaces vérifiant des hypothèses additionnelles. Partant des espaces de Hilbert continûment inclus dans un espace localement convexe donné, cette approche a conduit aux espaces de Hilbert à noyau reproduisant de N. Aronszajn puis aux sous-espaces hilbertiens de L. Schwartz. Cette théorie est présentée dans la première partie de la thèse, le résultat majeur de cette théorie étant sans doute l'équivalence entre sous-espaces hilbertiens
et noyaux positifs, résumé par la phrase suivante :
``Il existe une bijection entre sous-espaces hibertiens et noyaux positifs.''
Le principal apport à la théorie existante est l'utilisation intensive de systèmes en dualité et de formes bilinéaires (et pas uniquement sesquilinéaires). De manière surprenante,
cela conduit à une certaine perte de symétrie qui porte les germes de la théorie des sous-dualités.
Dans une seconde partie nous suivons encore les travaux de L. Schwartz et étudions la théorie moins connue des sous-espaces de Krein (ou sous-espaces hermitiens).
Les espaces de Krein ressemblent aux espaces de Hilbert mais sont munis d'un produit scalaire qui n'est plus nécessairement positif. Les sous-espaces de Krein constituent donc une première généralisation des sous-espaces hilbertiens. Un des principaux intérêt de l'étude de tels espaces réside en la disparition de l'équivalence fondamentale entre les notions de sous-espaces et de noyaux, même si une relation étroite subsiste. Nous étudions plus particulièrement les similitudes et les différences entre ces deux différentes théories, que nous retrouverons dans la théorie des sous-dualités.
La troisième partie généralise la perte de symétrie évoquée dans le chapitre 1. Nous développons les bases d'une théorie non plus basée sur une structure hilbertienne, mais sur une certaine dualité.
Nous développons ainsi le concept de sous-dualité d'un espace vectoriel localement convexe (ou d'un système dual) et de son noyau associé.
Une sous-dualité est définie par un système de deux espaces en dualité vérifiant des conditions d'inclusion algébrique ou
topologique. Plus précisément :
un système dual $(E,F)$ est une sous-dualité d'un espace localement convexe $\cE$ (ou plus généralement d'un système dual $(\cE,\cF)$) si $E$ et $F$ sont faiblement continûment inclus dans $\cE$.
Dans ce cas, il est possible d'associer à cette sous-dualité un unique noyau d'image dense dans la sous-dualité. Nous étudions également l'effet d'une application linéaire faiblement continue. Il devient alors possible (moyennant une relation d'équivalence) de munir l'ensemble des sous-dualités d'une structure d'espace vectoriel qui le rend isomorphe algébriquement à l'espace vectoriels des noyaux. Nous exhibons ensuite un représentant canonique de ces classes d'équivalences, ce qui permet d'établir une bijection entre sous-dualités canoniques et noyaux.
Une quatrième et dernière partie propose quelques applications. Le premier champ d'application possible est une généralisation du lien entre sous-espaces hilbertiens et mesures gaussiennes. Le second est l'étude d'opérateurs particuliers, les opérateurs dans les sous-dualités d'évaluation (sous-dualités de $\KK^(\Omega)$) et les opérateurs différentiels.
des processus gaussiens.
Les travaux de Moore, Bergman et Aronszajn ont notamment abouti au résultat fondamental suivant qui concerne les noyaux positifs : il est toujours possible de construire un sous-espace préhilbertien à partir d'un noyau positif et, moyennant quelques hypothèses (faibles) supplémentaires, de compléter fonctionnellement cet espace afin d'obtenir alors un espace de Hilbert. Cet espace possède alors la propriété d'être continûment inclus dans l'espace vectoriel localement convexe de départ.
Il existe donc une relation forte entre noyaux positifs et espaces hilbertiens. Dans cette thèse, nous nous sommes posés le problème suivant : que se passe t'il si l'on lève l'hypothèse
de positivité ? D'hermicité ?
Dans cette perspective nous considérons une seconde approche qui consiste à travailler directement sur des espaces vectoriels plutôt que sur les noyaux.
Précisément, adoptant une démarche classique en mathématiques, nous étudions les propriétés d'une classe d'espaces vérifiant des hypothèses additionnelles. Partant des espaces de Hilbert continûment inclus dans un espace localement convexe donné, cette approche a conduit aux espaces de Hilbert à noyau reproduisant de N. Aronszajn puis aux sous-espaces hilbertiens de L. Schwartz. Cette théorie est présentée dans la première partie de la thèse, le résultat majeur de cette théorie étant sans doute l'équivalence entre sous-espaces hilbertiens
et noyaux positifs, résumé par la phrase suivante :
``Il existe une bijection entre sous-espaces hibertiens et noyaux positifs.''
Le principal apport à la théorie existante est l'utilisation intensive de systèmes en dualité et de formes bilinéaires (et pas uniquement sesquilinéaires). De manière surprenante,
cela conduit à une certaine perte de symétrie qui porte les germes de la théorie des sous-dualités.
Dans une seconde partie nous suivons encore les travaux de L. Schwartz et étudions la théorie moins connue des sous-espaces de Krein (ou sous-espaces hermitiens).
Les espaces de Krein ressemblent aux espaces de Hilbert mais sont munis d'un produit scalaire qui n'est plus nécessairement positif. Les sous-espaces de Krein constituent donc une première généralisation des sous-espaces hilbertiens. Un des principaux intérêt de l'étude de tels espaces réside en la disparition de l'équivalence fondamentale entre les notions de sous-espaces et de noyaux, même si une relation étroite subsiste. Nous étudions plus particulièrement les similitudes et les différences entre ces deux différentes théories, que nous retrouverons dans la théorie des sous-dualités.
La troisième partie généralise la perte de symétrie évoquée dans le chapitre 1. Nous développons les bases d'une théorie non plus basée sur une structure hilbertienne, mais sur une certaine dualité.
Nous développons ainsi le concept de sous-dualité d'un espace vectoriel localement convexe (ou d'un système dual) et de son noyau associé.
Une sous-dualité est définie par un système de deux espaces en dualité vérifiant des conditions d'inclusion algébrique ou
topologique. Plus précisément :
un système dual $(E,F)$ est une sous-dualité d'un espace localement convexe $\cE$ (ou plus généralement d'un système dual $(\cE,\cF)$) si $E$ et $F$ sont faiblement continûment inclus dans $\cE$.
Dans ce cas, il est possible d'associer à cette sous-dualité un unique noyau d'image dense dans la sous-dualité. Nous étudions également l'effet d'une application linéaire faiblement continue. Il devient alors possible (moyennant une relation d'équivalence) de munir l'ensemble des sous-dualités d'une structure d'espace vectoriel qui le rend isomorphe algébriquement à l'espace vectoriels des noyaux. Nous exhibons ensuite un représentant canonique de ces classes d'équivalences, ce qui permet d'établir une bijection entre sous-dualités canoniques et noyaux.
Une quatrième et dernière partie propose quelques applications. Le premier champ d'application possible est une généralisation du lien entre sous-espaces hilbertiens et mesures gaussiennes. Le second est l'étude d'opérateurs particuliers, les opérateurs dans les sous-dualités d'évaluation (sous-dualités de $\KK^(\Omega)$) et les opérateurs différentiels.
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