Géométrie algébrique réelle de certaines variétés de dimension 2 et 3

Résumé : Les résultats présentés sont centrés sur la géométrie et la topologie des variétés algébriques réelles. Une grande partie est consacrée aux surfaces (variétés de dimension 2). On présente aussi un nouveau programme portant sur les variétés de dimension 3. Les résultats choisis sont repartis en trois axes :

1. Cycles algébriques sur les surfaces.
2. Topologie des variétés algébriques réelles.
3. Approximation des applications lisses par des applications régulières.

1. On s'intéresse au groupe des classes d'homologie représentables par des courbes algébriques réelles. Ce groupe est un invariant géométrique qui joue un rôle important notamment dans des questions d'approximation. Dans une série d'articles, dont l'un avec J. van Hamel, on conclut la classification des surfaces totalement algébriques parmi les surfaces de type spécial.

2. L'étude systématique de la topologie des variétés algébriques réelles a été initiée en 1900 par D. Hilbert dans le XVIème problème de sa fameuse liste. Le résultat le plus marquant est ici la preuve, avec J. Huisman, d'une conjecture de J. Kollár :
Toute variété de Seifert orientable est difféomorphe à une composante connexe d'une variété uniréglée réelle de dimension 3.
Il s'agit d'un pas important dans la classification des variétés uniréglées réelles de dimension 3.

3. Soient deux variétés algébriques réelles non singulières X et Y, X compacte, on cherche à savoir dans quels cas l'ensemble des applications régulières R(X,Y) est dense dans l'ensemble des applications lisses C(X,Y) (cf. Th. de Stone-Weierstrass lorsque Y = R).
Ici Y est la sphère usuelle. Dans une série de deux articles, dont l'un avec N. Joglar, on a terminé le cas où X est une surface de dimension de Kodaira strictement négative : si X est homéomorphe à un tore, les seules applications approximables sont homotopiquement triviales, dans tous les autres cas où X est connexe, on a densité.
De façon plutôt surprenante, on montre qu'il existe un unique cas rationnel intermédiaire entre trivialité et densité qui est une surface de Del Pezzo réelle de degré 2 possédant quatre composantes connexes.
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HDR
Mathématiques [math]. Université de Savoie, 2004
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Contributeur : Frédéric Mangolte <>
Soumis le : jeudi 16 septembre 2004 - 16:45:28
Dernière modification le : jeudi 11 janvier 2018 - 06:12:26
Document(s) archivé(s) le : vendredi 2 avril 2010 - 20:26:33

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Frédéric Mangolte. Géométrie algébrique réelle de certaines variétés de dimension 2 et 3. Mathématiques [math]. Université de Savoie, 2004. 〈tel-00006900〉

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