Resonances on asymptotically hyperbolic manifolds
Résonances sur les variétés asymptotiquement hyperboliques
Résumé
We study the meromorphic extension of the resolvent for the Laplacian on a class of non-compact complete Riemannian manifolds whose curvatures approach -1 at infinity. We show that the resolvent extends meromorphically to C with poles of finite multiplicity (called resonances) if and only if the metric satisfies a certain condition of asymptotic evenness, then we construct examples for which there exists a sequence of resonances converging to a point of the non-physical sheet, proving that some essential singularities can appear without this condition. Secondly, we show that the resonances coincide, with multiplicities, with the poles of the renormalized scattering operator, except for a discrete set of points for which an explicit geometric formula between the multiplicities is given. We finally prove the existence of a free of resonance region exponentially close to the critical line.
On étudie le prolongement méromorphe de la résolvante du laplacien sur une classe de variétés riemanniennes complètes non-compactes à courbure asymptotiquement -1. On montre que la résolvante se prolonge méromorphiquement à C avec pôles de multiplicité finie (appelés résonances) si et seulement si la métrique vérifie une certaine condition de parité asymptotique, puis on construit des exemples pour lesquels il existe une suite de résonances convergeant vers un point du feuillet non-physique, prouvant que des singularités essentielles peuvent apparaître sans cette condition. Dans un deuxième temps, on montre que les résonances coïncident, avec multiplicités, avec les pôles de l'opérateur de diffusion renormalisé à l'exception d'un ensemble discret de points pour lesquels on explicite géométriquement la différence des multiplicités. Enfin, on montre l'existence d'une zone sans résonance exponentiellement proche de l'axe critique.