Studies in matrix perturbations : algebraic computation of normal forms
Formes normales de perturbations de matrices : étude et calcul exact
Résumé
This thesis deals with rational normal forms of matrix perturbations and the eigenvalue perturbation problem : the asymptotic behavior of perturbed eigenvalues only depends on a few monomials of the characteristic polynomial and the goal is thus to be able to "recover" these monomials directly from the initial matrix (quasi-generic perturbations) or at least from a similar matrix perturbation (reduced form). Following Moser and Lidskii, we define two reduced forms that are associated with two different families of quasi-generic matrix perturbations. We also extend Lidskii's perturbation theorem in order to give a third reduced form and to provide a complete solution to the problem. Additionally, a Newton diagram interpretation is detailed for each of these results and some Maple functionalities for handling matrix perturbations are described.
Cette thèse étudie les formes normales rationnelles de perturbations de matrices en vue de la résolution du problème de perturbations pour les valeurs propres : le comportement asymptotique des valeurs propres d'une perturbation de matrice pouvant être entièrement décrit à partir de seulement quelques monômes du polynôme caractéristique, il s'agit essentiellement d'arriver à "lire" ces invariants matriciels directement sur la matrice de départ (perturbations quasi-génériques) ou, à défaut, sur une perturbation qui lui soit semblable (forme réduite). Partant des travaux de Moser et de Lidskii, on propose deux premières formes réduites, chacune étant associée à une famille de perturbations quasi-génériques. Des algorithmes de réduction par similitude polynomiale ainsi que les formes normales correspondantes sont également présentés. Enfin, une généralisation d'un théorème de Lidskii indique une troisième forme réduite, pour laquelle le problème de départ est complètement résolu. L'ensemble de ces résultats trouve une interprétation simple avec le polygone de Newton et l'implantation en Maple des algorithmes proposés a permis de développer une première "boîte à outils" pour les perturbations de matrices.
Mots clés
eigenvalues of matrix perturbations
symbolic linear algebra
normal matrix forms
characteristic polynomial
Lidskii perturbations
Puiseux series
Newton diagram.
valeurs propres de perturbations de matrices
algèbre linéaire exacte
formes normales matricielles
polynôme caractéristique
perturbations de Lidskii
séries de Puiseux
polygone de Newton