Demazure operators and polynomials for finite and affine Kac-Moody algebras
Opérateurs et polynômes de Demazure pour les algèbres de Kac-Moody finies et affines
Résumé
The aim of this work is to study Demazure modules for finite and affine type Kac-Moody algebras, and especially sl^(n). We study the character and the dimension of Demazure modules. This leads us to deal with Demazure operators, related to characters and with Demazure polynomials, related to dimension. We first show various harmonicity results for Demazure polynomials. Then, for finite type Kac-Moody algebras, we prove that the Demazure operators form a basis of the set of Z[P]^W-endomorphismes of Z[P], and that the Demazure polynomials form a basis of the set of W-harmonic polynomial that takes integer values on P. Lastly, for sl^(n), we define and study a subset E of W of nonnull density, on which we calculate the real character of Demazure module and Demazure polynomial. In small rank we deduce the polynomials on a larger subset.
Notre travail porte sur les modules de Demazure sur les algèbres de Kac-Moody de type fini et affine et plus spécialement sur sl^(n). Nous étudions le caractère et la dimension des modules de Demazure. Cette étude nous amène à aborder, d'une part, les opérateurs de Demazure, liés aux caractères, et d'autre part, les polynômes de Demazure, liés à la dimension. Nous prouvons tout d'abord différents résultats d'harmonicité pour les polynômes de Demazure. Puis, pour les algèbres de type fini, nous montrons que les opérateurs de Demazure forment une base des Z[P]^W-endomorphismes de Z[P] et que les polynômes de Demazure forment une base de l'ensemble des polynômes, sur P, harmoniques pour W et à valeur dans Z. Enfin, pour l'algèbre sl^(n), nous définissons et étudions un sous-ensemble E de W de densité non nulle sur lequel nous calculons le caractère réel des modules de Demazure et les polynômes de Demazure. En petit rang nous en déduisons les polynômes pour un sous-ensemble plus grand.
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