Theoretical and numerical study of wave propagation with unilateral contact in a cracked body
Etude théorique et numérique de la propagation d'ondes en présence de contact unilatéral dans un milieu fissuré
Résumé
The diffraction of elastic waves by a crack is a serious issue in nondestructive testing. A realistic model consists in taking into account unilateral contact conditions on the crack. In this thesis, we focus on dynamic unilateral contact problems for cracked bodies. We first consider a cracked viscoelastic body with Kelvin-Voigt model, for which we have unilateral contact boundary conditions with nonlocal friction. We derive an existence result by using a penalty method and compactness results. Numerical results deal with the elastodynamic problem with unilateral contact condition without friction. To solve it, we use the fictitious domain method where the unknowns are stresses, displacements and Lagrange multipliers. A specific finite element is used for space discretization which allows to obtain a time explicit scheme by mass lumping. Several time discretization schemes are described: an off-centered implicit scheme is proved to be stable and a centered implicit scheme appears to be stable through the numerical results. Results of validation and results dealing with more realistic applications are given.
La diffraction d'ondes élastiques par une fissure dans un matériau est un problème majeur en contrôle non destructif. Une modélisation réaliste consiste à prendre en compte une condition de contact unilatéral sur la fissure. Dans cette thèse, on étudie des problèmes dynamiques de contact unilatéral dans des milieux fissurés. Au niveau théorique, on présente un résultat d'existence pour un milieu viscoélastique de Kelvin-Voigt fissuré, pour lequel on considère une condition de contact unilatéral avec frottement non local (régularisé). Ce résultat est obtenu en utilisant une méthode de pénalisation et des propriétés de compacité. L'étude numérique porte sur le problème de l'élastodynamique avec contact unilatéral sans frottement, qui reste un problème ouvert sur le plan mathématique. Pour le résoudre, on utilise la méthode des domaines fictifs. On propose pour cela une formulation du problème en contraintes-déplacements-multiplicateurs de Lagrange. Un élément fini adapté est utilisé pour la discrétisation en espace et permet d'obtenir un schéma explicite en temps, par condensation de masse. Plusieurs schémas de discrétisation en temps sont présentés: un schéma implicite décentré dont on démontre la stabilité, un schéma implicite centré qui apparaît stable au vu des expériences numériques. Des résultats de validation sont présentés ainsi que des résultats concernant des applications plus réalistes.
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