Some mathematical problems related to the modeling of the boundary conditions at the fluid-solid interface for thin thickness flows.
Quelques problèmes mathématiques relatifs à la modélisation des conditions aux limites fluide-solide pour des écoulements de faible épaisseur
Résumé
The problem considered in this PhD work is the asymptotic study of thin thickness flows and the modeling of the boundary conditions to impose on the fluid-solid interface in various situations. The first chapter is dedicated to the asymptotic study of a coupling between a thin film of fluid and an adjacent thin porous medium. This situation appears in boundary lubrication problems. We show that there is a critical value between the size of the microstructure of the porous medium, the free fluid gap and the thickness of the porous medium. Moreover it is shown that an actual geometry can always be described by that critical case for which a modified Reynolds equation is proved. Numerical calculations show the difference between our model and two other models proposed in the mechanical literature. In chapter 2, one is interested in the study of a thin flow behavior when one of the surface is rough. This study can be related to the preceeding chapter by considering a porous medium whith a single layer. We use the two scale convergence technique in homogenisation to obtain rigorously the convergence results. Moreover, the convergence of the normal and tangential constraints on the smooth and rough surfaces are studied. In the last chapter, we consider a micropolar fluid with new boundary conditions at the fluid-solid interface linking the velocity and the microrotation by introducing a so called ``boundary viscosity''. We prove the existence and uniqueness of the solution and we derive, by way of asymptotic analysis, a generalized micropolar Reynolds equation. Numerical results enhance the influence of the new boundary conditions on the load and the friction coefficient. Comparisons are made with other works retaining a no slip boundary condition.
Ce travail de thèse est consacré à l'étude asymptotique d'écoulements de faible épaisseur et à la modélisation des conditions aux limites à imposer à l'interface fluide-solide dans différentes situations. Le chapitre 1 est consacré à l'etude asymptotique d'un écoulement fluide constitué d'une couche poreuse mince adjacente à un milieu fluide mince. On met en évidence l'existence d'un rapport critique entre la taille de la microstructure du milieu poreux et les deux épaisseurs, rapport pour lequel une équation de Reynolds modifiée est obtenue. De plus il est montré qu'on peut toujours pour une géométrie réelle se placer dans ce cas critique. Enfin, on présente des simulations numériques qui mettent en évidence les différences entre le modèle présenté ici et deux autres modèles utilisés en mécanique. Dans le chapitre 2, on s'intéresse à l'étude d'un écoulement de faible épaisseur quand une des surfaces est rugueuse. Ceci peut etre relié à l'étude du chapitre précédent en considérant un milieu poreux qui ne comporterait qu'une seule couche. On utilise la technique de la double échelle en homogénéisation pour obtenir rigoureusement les résultats de convergences. En outre, la convergence des contraintes normales et tangentielles sur les surfaces lisses et rugueuses est étudiée. Dans le chapitre 3, on étudie un écoulement d'un fluide non newtonien de type micropolaire avec de nouvelles conditions à l'interface fluide solide couplant la vitesse et la microrotation par l'introduction d'une viscosité de surface. On démontre l'existence et l'unicité de la solution et des estimations a priori qui conduisent, via l'étude asymptotique, à une équation de Reynolds micropolaire généralisée. Une étude numérique montre l'influence des conditions aux limites sur la charge et le coefficient de frottement. Les résultats sont comparés avec ceux d'autres modèles retenant une condition d'adhérence à la paroi.