Matrix orthogonal polynomials and infinite dynamical systems
Polynômes orthogonaux simultanés et systèmes dynamiques infinis
Résumé
First, I define vector polynomials orthogonal with respect to a matrix of measures. I recall some usual properties like the r+s+1 terms recurrence relation, the Shohat-Favard theorem or a Christoffel-Darboux formula. Then, using Padé approximants, I describe the resolvent set of the operator associated to the recurrence relations. This result was given by Duren but I give here a new proof. I then define Moebius transforms on the set of matrix of size r x s. I find again all cases of continued fractions : scalar, vector or matrix cases. These transforms help us to prove a theorem of convergence acceleration of matrix continued fractions. This generalizes a theorem on generalized continued fractions given by de Bruin et Jacobsen. Vector polynomials are then used to calculate recurrence coefficients of other polynomials with the help of the vector modified Chebsyhev algorithm, which is a generalization of the scalar case. In this last case we give some criterion of stability. Finally, modified Chebsyhev algorithm is used to study the Toda-Langmuir semi-infinite dynamical system. In this system, the particles are on the real semi-axis and act with each other with respect to a decreasing exponential law. To solve this problem, I use, again, a new approach. In fact, since I study only the first n particles, I am interested in the error done if we cut the system to N>>n quantities. We, then, work with a finite system. I present the theoretical study of the error in which we use our results on the stability of modified Chebyshev algorithm. I give also some numerical examples.
Je définis tout d'abord les polynômes vectoriels orthogonaux relativement à une matrice r x s de mesures ou de poids et je rappelle les propriétés habituelles : la récurrence à r+s+1 termes, le théorème de Shohat-Favard ou l'égalité de Christoffel-Darboux. Ces polynômes permettent, par l'utilisation d'approximants de Padé, de caractériser l'ensemble résolvant de l'opérateur aux différences associé aux récurrences. Cette caractérisation a déjà été donnée par Duren mais la démonstration utilisée ici est novatrice. Je définis ensuite des fonctions homographiques sur l'ensemble des matrices $r\times s$. J'uniformise ainsi tous les cas connus de fractions continues: scalaire, vectoriel ou matriciel. Elles permettent aussi de démontrer un théorème d'accélération de convergence de fractions continues matricielles, généralisation d'un théorème similaire pour les fractions généralisées donné par de Bruin et Jacobsen. J'utilise alors les polynômes vectoriels pour calculer les coefficients de récurrence d'autres polynômes par l'algorithme de Chebyshev modifié vectoriel, généralisation du cas scalaire pour lequel nous démontrons des critères de stabilité. Finalement, l'algorithme de Chebyshev modifié est utilisé pour étudier l'évolution temporelle du système dynamique semi-infini de Toda-Langmuir. Dans ce système, les particules sont sur le semi-axe réel et elles interagissent suivant une loi exponentielle décroissante. L'approche utilisée pour résoudre le problème est, encore une fois, innovante. En effet, j'étudie seulement les n premières particules et je m'intéresse à l'erreur commise sur l'évolution lorsque l'on tronque le système à N>>n quantités c'est-à-dire que l'on travaille avec un système fini. Je présente l'étude théorique de l'erreur, où je réutilise nos résultats sur la stabilité de l'algorithme de Chebyshev modifié, ainsi que des exemples numériques.
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