Mathematical and numerical analysis of quantum models for semiconductors.
Analyse mathématique et numérique de modèles quantiques pour les semiconducteurs
Résumé
This thesis is concerned with the mathematical study and the numerical resolution of quantum models of electronic transport in the nanostructures. The model that we use is that of Schrödinger. We took in consideration two approaches. The first is mono-band where two stationary models are studied. The first that we approach takes into account the variation of the effective mass according to semiconductor material. It is the Schrödinger with variable mass model. The second is a model where the non-parabolic effects in the dispersion relation are taken into account. It is the Kohn-Luttinger model. The second approach is a bibande one obtained starting from the Kane model which also rises from the $k.P$ method. The model is the two bands Schrödinger. The theoretical part contains the results of the existence of the solutions (using the fixed point Leray Schauder theorem) and of asymptotic behavior. In the various cases, we derived the transparent boundary conditions. We established a result concerning the semi-classical limit when $\hbar$ tends toward zero of the one dimensional Schrödinger with variable mass model. We showed the existence and uniqueness of solutions only for the energies different of the energies corresponding to eigenvalues of the discrete spectrum of the Kohn-Luttinger operator. We show the existence of solutions of the two bands Schrödinger model in the non-linear case (the electrostatic field is calculated self-consistent). Finally, in the numerical part, we used a Hermitian finite elements for the Kohn-Luttinger model and a finite difference method for the two bands Schrdinger model. For the coupled system, we used an iterative diagram based on Gummel method. We could carry out numerical simulations of devices type intraband (resp. interband) resonant tunneling diode RTD (resp. RITD) to describe the mono-band (resp. multiband) approach. We obtain the characteristics current-voltage, the coefficients of transmission and the profile of the charge density.
L'objectif principal de ce travail de thèse concerne l'étude mathématique et la résolution numérique de modèles quantiques de transport électronique dans les nanostructures semiconductrices. Le modèle quantique que nous utilisons est celui de Schrödinger. On a pris en considération deux approches. Une première approche monobande où deux modèles unidimensionnels stationnaires sont étudiés. Le premier que nous abordons prend en compte la variation de la masse effective en fonction du matériau semi-conducteur. C'est le modèle Schrödinger avec masse variable. Le second est un modèle où les effets non paraboliques dans la relation de dispersion vecteur d'onde-énergie sont pris en compte. C'est le modèle Kohn-Luttinger. La deuxième approche est de type bibande obtenue à partir du modèle de Kane qui lui aussi découle de la méthode k.P. On le notepar le modèle Schrödinger deux bandes. La partie théorique renferme des résultats d'existence de solutions ( l'aide du théorème de point fixe de Leray Schauder) et de comportement asymptotique. Dans les différents cas, nous avons dérivé des conditions aux bords transparentes. Nous avons établi un résultat concernant la limite semiclassique lorsque $\hbar $ tend vers zéro du modèle stationnaire unidimensionnel Schrödinger avec masse variable. Nous avons montré l'existence et l'unicité de solutions sauf peut-être pour une suite de valeurs d'énergie correspondant à des valeurs propres du spectre discret de l'opérateur de Kohn-Luttinger. Nous montrons l'existence de solutions du modèle Schrödinger à deux bandes dans le cas non-linéaire (le champ électrostatique est calculé auto-consistant). Finalement, dans la partie numérique, nous avons utilisé des éléments finis Hermitiens pour Kohn-Luttinger et une méthode de différences finies pour le modèle Schrödinger à deux bandes. Dans les deux cas, pour le système couplé nous avons utilisé un schéma itératif type Gummel. Nous avons pu réaliser des simulations numériques de dispositifs type diode à effet tunnel résonnant intra-bande RTD ( resp. inter-bande RITD) pour décrire l'approche monobande (resp. bibande). Nous avons obtenu les caractéristiques courant-tension, les coefficients de transmission et le profil des densités de charge électronique.