E-unification in automated deduction
E-unification en demonstration automatique
Résumé
Since Martelli and Montanari's work in 1982, E-unification problems are often considered are set of equations. This thesis presents new transformation rules which describe application of axioms at the root of the terms. The theoretical properties are established (soundness, completeness, ...). We also prove that this approach, based on strictly resolvent presentations, is more general than well known algorithms (Root-Rewriting [J. Gallier & W. Snyder], Syntactic mutation [C. Kirchner]). The analysis of the behavior of these rules proves the interest of the applica- tion of axioms at the root and suggests which strictly resolvent presentations should give the best results. These presentations are generated automatically. The theoreti- cal properties of the given completion rules are proved thanks to the notion of strictly resolvent completion. Different strategies are studied, going from a terminating strategy to a (potentially divergent) strategy resulting in very efficient presentations. Theoretical researches can be done in this (new) general frame- work. They apply to the subsumed algorithms. For instance, paral- lelism is studied and leads to a compact presentation of the com- puted unifiers. Other more complex optimisations are also stu- died. The detection of useless instanciations while unifying with the left hand-side of a rule is the most important. It is useful to prove the completeness of the solution found for a given prob- lem when the presentation is not strictly resolvent (divergent completion). Experimental results show the simplicity and the generality of this new approach. Its generality allows comparison with other well-known algorithms and justifies the usefulness of the diver- gent strategy. The study of particular cases proves that it leads to very interesting results in a reasonable time. Thus, this E- unification procedure can be used in a theorem prover.
Depuis les travaux de Martelli et Montanari en 1982, la resolution de problemes de E-unification s'effectue souvent par transformation de systemes d'equations. L'objectif de cette these est de presenter des nouvelles regles de transformations qui de- crivent de facon unifiee comment appliquer des axiomes a la ra- cine des termes. Les proprietes theoriques de ces regles sont etablies (correction, completude...). Nous prouvons egalement que cette approche, basee sur la notion de presentations strictement resolventes, est plus generale que des algorithmes tres connus (Root-Rewriting [J. Gallier & W. Snyder ], Mutation Syntaxique [C. Kirchner ]). Une analyse du comportement de ces regles per- met d'etablir l'inter^et de l'application d'axiomes a la racine et de definir le type de presentations strictement resolventes qui devraient fournir les meilleurs resultats. Ces presentations sont generees automatiquement. Pour ce faire, nous introduisons la notion de completion strictement resolvente. Elle permet de definir les proprietes theoriques des regles de completion donnees. Differentes strategies sont etu- diees, allant d'une strategie qui termine toujours a la strategie (parfois divergente) conduisant a une presentation tres efficace. Des recherches theoriques peuvent s'effectuer dans ce (nouveau) formalisme general. Elles s'appliquent aux algorithmes subsumes par cette approche. Par exemple, les avantages vis a vis du parallelisme sont etablis et conduisent a une presentation compacte de l'ensemble des unificateurs. Des optimisations theoriques plus complexes sont egalement etudiees. La detection des instanciations inutiles des variables lors de l'unification d'un terme avec les t^etes de regles est la plus importante. Elle permet d'etablir la completude des solutions donnees pour un probleme m^eme si la presentation n'est pas strictement resol- vente (completion divergente). Les resultats experimentaux mettent en valeur la simplicite et la generalite de cette nouvelle approche. Sa generalite permet egalement de comparer les differents algorithmes et de justifier l'utilisation de la strategie non complete de generation des re- gles. L'etude de cas particuliers montre que l'on peut ainsi ob- tenir des resultats tres interessants en un temps tout a fait raisonnable. On peut donc envisager d'utiliser ce module de E- unification au sein d'un demonstrateur.