About analytic functional equations
Autour de quelques équations fonctionnelles analytiques
Résumé
This thesis concerns the study of analytic functional equations. It is divided in two parts. The first one deals with mixed q-difference-differential equations. We establish index theorems and growth estimates for entire functions solutions of such equations. The results we obtain extend those established separately for differential equations and for q-difference equations. We also get index theorems for the expansions in q-factorial formal series (q-analogs of factorial series). The second part of the thesis is about a resummation algorithm of formal power series solutions of linear ordinary differential equations in the neighbourhood of an irregular singula-rity, supposed to be located at the origin. This algorithm describes the iterated Borel-Laplace transforms method. On the basis of computer algebra implementations studied in the European working group CATHODE (Computer Algebra Tools for Handling Ordinary Differential Equations) we develop the algorithmic approach of the power series multisummation.
Cette thèse a pour objet l'étude d'équations fonctionnelles analytiques. Elle se divise en deux parties. La première, purement mathématique, concerne l'étude des équations aux q-différences et des équations voisines. Plus précisement, nous établissons des théorèmes d'indices et de croissance des solutions entières pour les équations mixtes différentielles-q-différences, généralisant les résultats connus dans le cadre des équations différentielles d'une part, des équations aux q-différences d'autre part. Par ailleurs, nous obtenons des théorèmes d'indices pour les développements en séries de q-factorielles, q-analogues des séries de factorielles. La seconde partie de cette thèse concerne la multisommation des séries formelles solutions d'équations différentielles linéaires algébriques. La théorie et la méthode des transformées de Laplace itérées nous donne une méthode effective permettant de sommer ces séries formelles. Le travail consiste à réaliser les algorithmes formels et numériques en créant les primitives informatiques nécessaires, en coordination avec le travail méné par d'autres équipes du groupe de travail CATHODE (Computer Algebra Tools for Handling Ordinary Differential Equations, projet européen Esprit).
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