On the stability of Spherically symmetric travelling waves and the motion of a fluid between two infinte plates
Sur la stabilite des Ondes Spheriques et le Mouvement d'un Fluide entre deux Plaques Infinies
Résumé
This thesis deals with the asymptotic behavior of global solutions of evolution parabolic semilinear Partial Differential Equations. Through two different examples, we study the convergence of solutions, when time goes to infinity, towards particular solutions (travelling waves, self-similar solutions). On the one hand, we study the asymptotic stability of spherically symmetric travelling waves in a scalar reaction-diffusion equation with bistable nonlinearity. We get a stability result for small radial perturbations and an instability one for arbitrary (i.e. non-symmetric) perturbations. On the other hand, we compute an asymptotic development up to second order of solutions with small initial data of Navier-Stokes and Navier-Stokes Coriolis equations in a three-dimensional layer. In particular, we show that their behaviors are governed by the Oseen Vortex. We then generalise this result to any global solution uniformly bounded in time, with no more smallness assumption on the initial data. Finally, we highlight such solutions for the Navier-Stokes Coriolis equation in case of a sufficiently high rotation.
Cette thèse a pour objet le comportement asymptotique de solutions globales d'Equations aux Dérivées Partielles d'évolution paraboliques semilinéaires. A travers deux exemples distincts, on traite de la convergence en temps des solutions vers des solutions particulières (ondes progressives, solutions autosimilaires). Dans un premier temps, on étudie la stabilité asymptotique des ondes progressives à symétrie sphérique dans une équation de réaction-diffusion scalaire avec non-linéarité bistable. On obtient un résultat de stabilité pour de petites perturbations radiales et d'instabilité pour des perturbations quelconques. Dans un deuxième temps, on calcule un développement asymptotique jusqu'au second ordre des solutions, à donnée initiale petite, de Navier-Stokes et de Navier-Stokes Coriolis dans une bande tridimensionnelle. On montre notamment que leur comportement asymptotique est régi par le tourbillon d'Oseen. On généralise ensuite ce résultat à toute solution globale uniformément bornée en temps, sans aucune hypothèse de petitesse. Enfin, on met en évidence de telles solutions pour l'équation de Navier-Stokes Coriolis pour les fluides tournants dans le cas d'une rotation suffisamment rapide.