Domain decomposition methods : application to the solution of optimal control problems.
Méthodes de décomposition de domaine : application à la résolution de problèmes de contrôle optimal
Résumé
This work deals with the use of domain decomposition methods to solve optimal control problems governed by partial differential equations. The problem on the whole domain decomposes into local subproblems with the cost function naturally resulting from the sum of the local cost functions provided that the perfect matching of the local solutions is preserved on both the sides of the interface between non-overlapping neighbour subdomains. In a first part, we especially study the elliptic case: we take simultaneously into account the minimization of the cost function and the links between subdomains. These links are satisfied by ensuring the flux continuity of the direct state given explicitly on the local system whereas the continuity constraint is considered with multipliers. The resulting optimization problem is treated by augmented Lagrangian techniques and is solved thanks to a variant of algorithms existing in the literature. In a second part, an extension to optimal control problems governed by parabolic system is developed considering only a space decomposition of the calculation domain. In the last part, we combine Schwarz algorithms and optimal control problems using an overlapping domain decomposition at each step of the minimization process. We design a parallel algorithm based on a multiplicative Schwarz method used as a solver. The adjoint state is naturally deduced from the transposition of the local direct. This mixed algorithm constitutes a robust but expensive method to solve the optimal control problem. For particularly large problems, another algorithm combining a Quasi-Newton method and a Krylov solver (\bic) preconditioned by an additive Schwarz method is proven to be more competitive since good parallel efficiencies are obtained. Results are presented to show the behaviour of the optimization solvers when Schwarz algorithms are used.
Ce travail porte sur l'étude des méthodes de décomposition de domaine et leur application pour résoudre des problèmes de contrôle optimal régis par des équations aux dérivées partielles. Le principe de ces méthodes consiste à ramener des problèmes de grande taille sur des géométries complexes en une suite de sous-problèmes de taille plus petite sur des géométries plus simples. En considérant une décomposition sans recouvrement, l'intérêt de ces méthodes pour les problèmes de contrôle optimal réside au niveau de l'intégration de l'équation d'état, puisqu'il est possible de partitionner le problème en une suite de problèmes plus petits, quitte à contraindre les interfaces entre les sous-domaines à obéir à des conditions de raccordement afin de déduire la solution globale à partir des solutions locales. Dans une première partie, nous étudions le cas elliptique. Nous considérons simultanément la minimisation de la fonction coût et des raccordements sur les frontières entre les sous-domaines. Cette combinaison de problèmes de minimisation et de méthodes de décomposition de domaine est traitée par des techniques de Lagrangien augmenté. Nous montrons que, sur le domaine décomposé, le problème initial se réduit à la recherche d'un point-selle. Une étude des méthodes de Lagrangien nous a permis de choisir une variante d'algorithmes existants dans la littérature et de les combiner avec un algorithme de décomposition de domaine. Dans la seconde partie, nous développons l'extension de cette approche aux problèmes de contrôle optimal régis par des systèmes paraboliques en considérant uniquement une décomposition en espace du domaine de calcul. Dans une dernière partie, nous considérons une décomposition de domaine avec recouvrement à chaque pas de la minimisation. D'une part, nous construisons un algorithme parallèle en utilisant la méthode de Schwarz multiplicative en tant que solveur. Ceci permet de déduire naturellement l'état adjoint par transposition des systèmes directs locaux. L'algorithme global défini par la méthode de minimisation de type quasi-Newton et ce solveur de Schwarz constitue une méthode robuste de résolution du problème de contrôle optimal, mais coûteuse. D'autre part, et plus particulièrement, pour des problèmes de grande taille, l'algorithme de type quasi-Newton, combiné avec le solveur de Krylov BiCGSTAB préconditionné par une méthode de Schwarz additive, est plus compétitif dans la mesure oû l'on obtient de bonnes performances parallèles. De nombreux résultats sont présentés pour préciser le comportement des algorithmes d'optimisation quand ils sont utilisés avec des méthodes de Schwarz.
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