Equations de reaction diffusion non-locale
Résumé
This PHD Thesis is devoted to the study of the exitence, uniqueness and qualitative behavior of travelling wave solutions of non-local reaction diffusion equations $u_(t)-(\int_(\R)J(x-y)[u(y)-u(x)]dy)=f(u)$. Such nonlinear equations arise in population dynamics or in neural network when considering non-local diffusion. We treat three different classes of nonlinearities $f$ (bistable, ignition, monostable), which are commonly used in the litterature. Existence for bistable and ignition nonlinearity are obtained using a homotopy argument. For monostable nonlinearity, existence is obtained through approximation problem set on semi infinite interval $(-r,+\infty)$. Uniqueness and monotonicity of the travelling wave are obtained using sliding techniques. Asympotic behavior and speed formula are also investigate.
Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de réaction diffusion non-locale du type $u_(t)-(\int_(\R)J(x-y)[u(y)-u(x)]dy)=f(u)$. Ces équations non-linéaires apparaissent naturellement en physique et en biologie. On s'intéresse plus particulièrement aux propriétés (existence, unicité, monotonie) des solutions du type front progressif. Trois classes de non-linéarités $f$ (bistable, ignition, monostable) sont étudiées. L'existence dans les cas bistable et ignition est obtenue via une technique d'homotopie. Le cas monostable nécessite une autre approche. L'existence est obtenue via une approximation des équations sur des semi-intervales infinis $(-r,+\infty)$. L'unicité et la monotonie des solutions sont quand elles obtenues par méthode de glissement. Le comportement asymptotique ainsi que des formules pour les vitesses sont aussi établis.
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