Equations différentielles stochastiques singulièrement perturbées
Résumé
We consider systems of stochastic differential equations involving two well-separated time scales. We start by establishing, in a general setting, concentration properties of sample paths in a neighbourhood of the slow manifolds of the system's deterministic counterpart. We then study the dynamics in the neighbourhood of a bifurcation point of the slow manifold, in particular in the cases of a saddle-node and of a pitchfork bifurcation. The related phenomena of stochastic resonance and dynamical hysteresis are also studied in detail. Finally, we derive the law of first-passage times through an unstable periodic orbit, for a family of equations which are not limited to the case of well-separated time scales.
Nous considérons des systèmes d'équations différentielles stochastiques faisant intervenir deux échelles de temps bien distinctes. Nous commençons par établir, dans un cadre général, des propriétés de concentration des trajectoires au voisinage des variétés lentes du système déterministe correspondant. Nous étudions ensuite la dynamique au voisinage de points de bifurcation de la variété lente, en particulier dans le cas d'une bifurcation noeud-col et d'une bifurcation fourche. Les phénomènes apparentées de la résonance stochastique et de l'hystérésis dynamique sont également étudiés en détail. Finalement, nous dérivons la loi des temps de passage à travers une orbite périodique instable, pour une famille d'équations qui ne sont pas limitées au cas d'échelles de temps distinctes.
Mots clés
modèles climatiques
Equations différentielles stochastiques
théorie des perturbations singulières
théorie des grandes déviations
systèmes rapides-lents
variétés lentes
bifurcations dynamiques
concentration de la mesure
problème de sortie
temps de première sortie
résonance stochastique
hystérésis dynamique
cycling
modèles climatiques.