Calcul Stochastique Covariant à Sauts & Calcul Stochastique à Sauts Covariants
Résumé
We propose a stochastic covariant calculus for
càdlàg semimartingales in the tangent bundle $TM$ over a manifold $M$.
A connection on $M$ allows us to define an intrinsic derivative of
a $C^1$ curve $(Y_t)$ in $TM$, the covariant
derivative. More precisely, it is the derivative of
$(Y_t)$ seen in a frame moving parallelly along its projection curve
$(x_t)$ on $M$. With the transfer principle, Norris defined the
stochastic covariant integration along a continuous semimartingale in
$TM$. We describe the case where the semimartingale jumps in $TM$,
using Norris's work and Cohen's results about stochastic calculus
with jumps on manifolds. We see that, depending on the order in
which we compose the function giving the jumps and the connection, we
obtain a (\it stochastic covariant calculus with jumps) or a (\it
stochastic calculus with covariant jumps).
Both depend on the choice of the connection and of the tools
(interpolation and connection rules) describing the
jumps in the meaning of Stratonovich or Itô. We study the choices
that make equivalent the two calculus. Under suitable conditions,
we recover Norris's results when $(Y_t)$ is continuous.
The continuous case is described by a covariant continuous calculus of
order two, a formalism defined with the notion of connection of order two.
càdlàg semimartingales in the tangent bundle $TM$ over a manifold $M$.
A connection on $M$ allows us to define an intrinsic derivative of
a $C^1$ curve $(Y_t)$ in $TM$, the covariant
derivative. More precisely, it is the derivative of
$(Y_t)$ seen in a frame moving parallelly along its projection curve
$(x_t)$ on $M$. With the transfer principle, Norris defined the
stochastic covariant integration along a continuous semimartingale in
$TM$. We describe the case where the semimartingale jumps in $TM$,
using Norris's work and Cohen's results about stochastic calculus
with jumps on manifolds. We see that, depending on the order in
which we compose the function giving the jumps and the connection, we
obtain a (\it stochastic covariant calculus with jumps) or a (\it
stochastic calculus with covariant jumps).
Both depend on the choice of the connection and of the tools
(interpolation and connection rules) describing the
jumps in the meaning of Stratonovich or Itô. We study the choices
that make equivalent the two calculus. Under suitable conditions,
we recover Norris's results when $(Y_t)$ is continuous.
The continuous case is described by a covariant continuous calculus of
order two, a formalism defined with the notion of connection of order two.
Nous proposons un calcul stochastique covariant pour des
semimartingales dans le fibré tangent $TM$ au dessus d'une
variété $M$. Une connexion sur $M$ permet de définir une
dérivée intrinsèque d'une courbe $(Y_t)$, $C^1$ dans $TM$, la
dérivée covariante. Plus précisément, c'est la dérivée de
$(Y_t)$ vue dans un repère mobile, se dépla\c cant
parallèlement le long de sa courbe $(x_t)$ projetée sur $M$.
Avec le principe de transfert, Norris définit l'intégration
covariante le long d'une semimartingale dans $TM$. Nous décrivons le
cas où la semimartingale saute dans $TM$, en utilisant les travaux
de Norris et les résultats de Cohen sur le calcul stochastique
à sauts sur une variété. Nous comprenons, que, selon l'ordre
dans lequel on compose la fonction qui donne les sauts et la
connexion, on obtient un (\it calcul stochastique covariant à sauts) ou
(\it un calcul stochastique à sauts covariants). Tous deux
dépendent du choix de la connexion et des objets (interpolateurs et
connecteurs) décrivant les sauts au sens de Stratonovich ou d'Itô.
Nous étudions les choix qui rendent équivalents les deux calculs.
Sous certaines conditions, on retrouve les résultats de Norris
lorsque $(Y_t)$ est continue. Le cas continu est décrit par un
calcul covariant continu d'ordre deux, formalisme défini à l'aide
de la notion de connexion d'ordre deux.
semimartingales dans le fibré tangent $TM$ au dessus d'une
variété $M$. Une connexion sur $M$ permet de définir une
dérivée intrinsèque d'une courbe $(Y_t)$, $C^1$ dans $TM$, la
dérivée covariante. Plus précisément, c'est la dérivée de
$(Y_t)$ vue dans un repère mobile, se dépla\c cant
parallèlement le long de sa courbe $(x_t)$ projetée sur $M$.
Avec le principe de transfert, Norris définit l'intégration
covariante le long d'une semimartingale dans $TM$. Nous décrivons le
cas où la semimartingale saute dans $TM$, en utilisant les travaux
de Norris et les résultats de Cohen sur le calcul stochastique
à sauts sur une variété. Nous comprenons, que, selon l'ordre
dans lequel on compose la fonction qui donne les sauts et la
connexion, on obtient un (\it calcul stochastique covariant à sauts) ou
(\it un calcul stochastique à sauts covariants). Tous deux
dépendent du choix de la connexion et des objets (interpolateurs et
connecteurs) décrivant les sauts au sens de Stratonovich ou d'Itô.
Nous étudions les choix qui rendent équivalents les deux calculs.
Sous certaines conditions, on retrouve les résultats de Norris
lorsque $(Y_t)$ est continue. Le cas continu est décrit par un
calcul covariant continu d'ordre deux, formalisme défini à l'aide
de la notion de connexion d'ordre deux.
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